비대각 라도 수와 x+y+c z, x+qy z 방정식의 정확한 값

초록

이 논문은 두 색상(빨강·파랑)으로 색칠된 정수 집합에서 비대각 라도 수 R₂(c,q)를 정의하고, 방정식 x+y+c=z(빨강)와 x+qy=z(파랑) 사이의 최소 N을 정확히 구한다. c와 q의 홀짝성에 따라 세 가지 경우로 나누어 명시적인 식을 제시한다.

상세 분석

라도 수는 색칠된 정수 집합에서 특정 선형 방정식의 단색 해가 반드시 존재하도록 하는 최소 크기를 의미한다. 기존 연구는 주로 동형(동일) 방정식에 초점을 맞추었으며, 비대각(두 개의 서로 다른 방정식) 상황은 아직 충분히 탐구되지 않았다. 본 논문은 비동질적인 비동차 방정식 x+y+c=z와 x+qy=z을 동시에 고려한 두 색상 라도 수 R₂(c,q)를 정의한다. 먼저 정의와 기존 결과를 정리하고, Schur 수와 Rado의 정규성 이론을 바탕으로 문제를 설정한다. 주요 정리는 c≥1, q≥1인 정수에 대해

• q와 c가 모두 홀수이면 R₂(c,q)=∞, 즉 어떤 유한 N도 두 색상으로 색칠을 피할 수 있다.
• q=1이고 c가 짝수이면 R₂(c,1)=2c+4.
• 그 외의 경우(즉, q>1이며 c와 q 중 적어도 하나가 짝수)에는 R₂(c,q)=(q+1)(c+2)+c+1.

각 경우에 대해 하한과 상한을 동시에 만족시키는 색칠 구성을 제시한다.

1. 홀수‑홀수 경우에는 짝수와 홀수에 따라 색을 배정하면 두 방정식 모두 단색 해를 만들 수 없으므로 무한대가 된다.
2. q=1, c 짝수 경우에는