선형 클리크 폭과 모듈러 분해: 한계와 완전성

본 논문은 선형 클리크 폭(linear clique‑width, 이하 lcw)의 “lifting property”가 일반적인 clique‑width와 달리 hereditary 그래프 클래스 전체에 그대로 적용되지 않는 현상을 조사한다. 서론에서는 lcw가 순차적 연산만 허용하는 제한된 형태의 clique‑width임을 설명하고, 기존 연구에서 cograph( P₄‑free 그래프) 클래스가 이 속성을 위반한다는 사실을 제시한다. Brignall, Korpelainen, Vatter는 cograph 내에서 quasi‑threshold 그래프와 그 보완이 유일한 방해 요소임을 증명했으며, 이를 정리 1.1으로 정리한다. 본 연구는 이 결과를 일반 hereditary 클래스에 확대한다. 핵심 개념으로 quasi‑threshold 그래프와 co‑quasi‑threshold 그래프를 정의한다. quasi‑threshold 그래프는 K₁을 반복적으로 조인하거나 디스존트 유니온을 취해 생성되는 {P₄, C₄}-free 그래프이며, 그 보완 역시 동일한 구조를 가진다. 이러한 그래프들을 포괄하는 universal 시퀀스 Qₜ와 Qₛ를 정의한다. Q₁=K₁이며, t≥2일 때 Qₜ = (K₁∗Qₜ₋₁) ⊎ Qₜ₋₁, s≥2일 때 Qₛ = (K₁⊎Qₛ₋₁)∗Qₛ₋₁ 로 재귀적으로 만든다. 관찰 2.1에 의해 모든 quasi‑threshold 그래프는 어느 Qₜ에, 모든 co‑quasi‑threshold 그래프는 어느 Qₛ에 포함된다. 다음 장에서는 모듈러 분해(modular decomposition)를 도입한다. 그래프 G는 H