연속·이산 시간 선형 시스템 비교: 보간 기반 행동 동등성

**1. 서론 및 동기** 현대 자동화·자율 시스템은 복잡한 안전·미션 사양을 만족해야 한다. 이러한 사양은 보통 시간 논리(temporal logic)로 표현되며, 연속시간 시스템에 직접 적용하기는 계산적으로 어려워 보통 이산시간 모델을 만든 뒤 플래닝·제어를 수행한다. 기존의 계층적 방법은 이산 모델에서 사양을 만족시키고, 연속 시스템을 그 이산 궤적의 보간에 가깝게 유지하도록 설계한다. 그러나 사양이 샘플링 순간에만 보장되고, 구간 사이에서의 위반 정도를 정량화할 체계가 부족했다. **2. 관련 연구** 시뮬레이션·(근사)시뮬레이션, (γ,δ)‑유사성 등은 시스템 행동을 비교하는 형식적 도구이지만, 모두 동일 시간 영역 내에서만 정의된다. F⁻¹‑시뮬레이션은 변환을 허용하지만 무한 상태 시스템에서는 계산이 비현실적이다. 따라서 연속·이산 시스템을 직접 비교할 수 있는 새로운 프레임워크가 필요하다. **3. 주요 기여** - **시스템 보간 정의**: 연속시간 시스템이 이산시간 시스템의 입력‑상태 궤적을 구간별 다항식 보간으로 재현할 수 있는지 판단하는 개념을 도입. - **대수적 특성화**: 보간을 이동 레전드 다항식 기반의 부분공간 포함 문제로 변환하고, 이는 단순한 랭크 조건으로 검증 가능함을 증명. - **보간 입력 집합**: 특정 이산 궤적에 대해 연속 시스템이 생성할 수 있는 모든 보간 입력을 명시적으로 구성. - **이산화 절차**: 주어진 연속 시스템, 샘플링 시간 h, 보간 차수 d에 대해, 위의 조건을 만족하는 이산 모델(A_d, B_d)을 선형 행렬 방정식으로 구함. - **제어 합성**: 사양을 만족하는 이산 플래너를 사용하고, 보간 차수와 샘플링 시간에 따라 연속 제어 입력을 역설계함으로써 샘플링 순간 사양을 보장하고, 구간 전체 위반 정도를 L₂‑노름 기반으로 정량화. **4. 수학적 배경** 레전드 다항식 \(P_k^{(d)}(τ)\) (0≤τ≤h)는 차수 d까지의 다항식 공간을 정규 직교 기저로 제공한다. 구간