Kₘ와 Pₙ의 카테시안 곱에서 연결 정점 집합 평균 크기 공식

본 논문은 그래프 G의 모든 연결 정점 집합에 대해 “평균 순서” A(G)=S(G)/N(G)를 정의하고, 이를 Kₘ와 Pₙ의 카테시안 곱 Kₘ×Pₙ에 적용해 닫힌 형태의 공식으로 구한다. 먼저, 연결 집합의 개수 N(G)와 정점 수 합 S(G)를 정의하고, 평균 순서와 밀도 D(G)=A(G)·|V(G)|를 소개한다. 기존 연구에서는 트리, 사다리 그래프 등에서 평균 순서를 구했지만, Kₘ×Pₙ에 대한 전반적인 식은 없었다. Kₘ×Pₙ는 n개의 레이어(각 레이어는 Kₘ와 동형)로 구성된다. 레이어 1부터 k까지 모두를 포함하는 연결 집합을 세기 위해 f(m,k)라는 함수를 정의한다. f(m,k)는 첫 k개의 레이어 각각에 최소 하나의 정점을 포함하고, k번째 레이어에서는 정확히 i개의 정점을 선택하는 경우의 수 f_i(m,k)로 분해된다. 대칭성(Lemma 2.2) 때문에 같은 크기의 정점 부분집합은 같은 개수를 가진다. f_i(m,k)는 이전 레이어(k−1)의 모든 경우를 이용해 재귀적으로 계산된다. 구체적인 식은 \