개방 양자계의 유효 해밀토니안과 입자 수 변동에 대한 수학적 정당화

본 논문은 비상대론적 양자 통계역학의 기본 원리에서 출발하여, 입자 수가 변하는 개방 양자계의 유효 해밀토니안이 \(H-\mu N\) 형태임을 엄밀히 증명한다. 이를 위해 저자는 먼저 전체 시스템 \(T\) 를 개방 시스템 \(S\)와 레저버 \(R\)로 분할하는 물리적 전제 A1을 설정한다. 여기서 \(S\)는 부피 \(V_S\) 와 입자 수 \(N_S\) 가 유한하고, \(R\)는 그보다 훨씬 큰 부피 \(V_R\) 와 입자 수 \(N_R\) 를 가진다. 두 부분은 텐서곱 형태의 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}_S\otimes\mathcal{H}_R\) 에 놓이며, 각각의 자유 해밀토니안 \(H_S\), \(H_R\)와 상호작용 해밀토니안 \(H_{\text{int}}\) 으로 전체 해밀토니안을 구성한다. 다음으로, 상호작용을 두 입자 사이의 2‑body 포텐셜로 제한하는 가정 A2를 도입한다. 이는 전통적인 비상대론적 양자역학에서 널리 사용되는 모델이며, Kato‑Rellich 혹은 Rollnik 클래스와 같은 수학적 조건을 만족하도록 포텐셜을 선택함으로써 전체 해밀토니안이 본질적으로 자체수반임을 보장한다. 핵심적인 첫 번째 결과는 “표면‑대‑부피 비율 근사”이다. 저자는 시스템과 레저버 사이의 접촉면적이 전체 부피에 비해 무시할 정도로 작아지는 상황을 정량적으로 분석한다. 이를 위해 볼록 기하학의 체적‑표면적 불평등과 상호작용 거리 \(d\) 에 대한 고차항 추정을 결합한다. 결과적으로 기대값 \(E_\rho