필터된 푸카이 범주에서 섬유들의 밀도 정리

본 논문은 코탄젠트 번들 \(T^{*}N\) 위의 필터된 푸카이 범주 \(\mathcal{F}(D T^{*}N)\)에 대한 “섬유들의 밀도” 문제를 다룬다. Abouzaid가 비필터드 경우에 하나의 섬유만으로 전체 래핑된 푸카이 범주를 생성함을 보였지만, 필터된 상황에서는 라그랑지안의 액션을 보존해야 하므로 단일 섬유만으로는 충분하지 않다. 대신, Biran이 제시한 질문에 따라, 조밀한 기본점 집합 \(\{x_i\}\)와 각 점에 대응하는 섬유 \(V(x_i,a_i)\)들의 반복 콘이 전체 범주를 임의의 정밀도로 근사할 수 있는지를 조사한다. 1. **필터된 푸카이 범주의 정의** - 객체는 \(D T^{*}N\) 안의 정확 라그랑지안 브레인 \((L,f_L)\)이며, \(f_L\)는 Liouville 1‑형식 \(\lambda\)의 원시이다. - 모핑스페이스는 Floer 체인 복합체 \(FC^{*}(L,L')\)이며, 교차점 \(x\)에 대한 필터링은 \(f_{L'}(x)-f_L(x)\) 로 정의된다. - Yoneda 임베딩 \(Y:\mathcal{F}\to\operatorname{Mod}_{\mathrm{fil}}(\mathcal{F})\)를 통해 모듈 범주에 들어가면, 모듈 사이에 자연스럽게 interleaving 거리 \(\gamma\)가 부여된다. 2. **섬유와 그 모듈화** - 섬유 \(V(x,a)\)는 라그랑지안 자체는 아니지만, \(\mathcal{F}\)의 모듈로서 \(FC^{*}(-,V(x,a))\) 를 정의할 수 있다. - 이 모듈들은 \(\langle V(x_1,a_1),\dots,V(x_\ell,a_\ell)\rangle\) 라는 반복 콘으로 닫힌 서브카테고리를 형성한다. 3. **양자화 functor와 sheaf 카테고리** - Vitriol 2019년의 양자화 functor \(Q\)를 확장해, 각 라그랑지안 \(L\)을 \(N\times\mathbb{R}\) 위의 sheaf \(Q(L)\) 로 보낸다. - 이때 \(Q(L)\)의 마이크로지원은 \(D T^{*}N\)에 포함되며, 따라서 \(\operatorname{Sh}_{D T^{*}N}(N\times\mathbb{R})\) 라는 sheaf 서브카테고리 안에 있다. - 섬유 \(V(x,a)\)는 sheaf \(\mathbf{k}_{\{x\}\times