연결된 엣지 커버 집합의 개수에 관한 연구

이 논문은 그래프 이론에서 중요한 개념인 연결된 엣지 커버(Connected Edge Cover, CEC)의 개수를 체계적으로 연구한다. CEC는 모든 정점이 선택된 간선 집합에 의해 커버되고, 선택된 간선들만으로 이루어진 부분 그래프가 연결성을 유지해야 하는 특수한 커버이다. 저자는 먼저 일반적인 경계와 트리에서의 특수성을 제시하고, 이후 여러 전형적인 그래프 군에 대해 CEC 다항식 E_c(G,x)와 전체 개수 E_c(G,1)를 정확히 구한다. **1. 기본 정의와 기본 결과** - 그래프 G=(V,E) 에 대해 e_c(G,i) 는 정확히 i 개의 간선을 갖는 CEC의 수이며, E_c(G,x)=∑_i e_c(G,i)x^i 이다. - 최소 CEC 크기 ρ_c(G) 는 ⌈|V|/2⌉ ≤ ρ_c(G) ≤ |V|−1 을 만족한다(Prop. 2.1). - 트리에서는 전체 간선 집합만이 CEC가 되므로 E_c(T,x)=x^{|V|−1} (Prop. 2.2). **2. 경로·사이클·별** - 경로 P_n 은 스패닝 트리와 동일하므로 E_c(P_n,x)=x^{n−1}. - 별 S_n 도 마찬가지로 모든 스포크를 포함해야 하므로 E_c(S_n,x)=x^{n}. - 사이클 C_n 에 대해서는 E_c(C_n,x)=n x^{n−1}+x^{n} 이며, 총 CEC 수는 n+1. **3. 완전 그래프 K_n** - CEC는 연결된 스패닝 서브그래프와 동치이며, 전체 개수는 OEIS A001187에 등재된 수와 일치한다. - 포함‑배제 원리를 이용해 재귀식 \