3차원 연쇄 교차 결합 프레임워크를 이용한 초혼돈 지도와 컬러 이미지 암호화

초록

본 논문은 세 개의 1차원 혼돈 함수를 연쇄·교차·결합하여 3차원 초혼돈 시스템을 생성하는 3D‑CCC 프레임워크를 제안한다. ICMIC, Logistic, Sine 맵을 적용해 3D‑ILS 모델을 구축하고, 그 동역학적 특성을 Lyapunov 지수, 상분기, 민감도 분석을 통해 검증한다. 구축된 초혼돈 시퀀스를 활용해 RGB 이미지에 한 라운드 교차 비트 혼합·전치·확산을 수행하는 암호화 알고리즘을 설계했으며, 엔트로피 7.9993, NPCR 96.61 %, UACI 33.46 % 및 2^309 규모의 키 공간을 달성하였다.

상세 분석

3D‑CCC는 “연쇄‑교차‑결합”이라는 세 단계 구조를 통해 1차원 혼돈 맵을 3차원 초혼돈 시스템으로 확장한다. 기존 고차원 혼돈 모델이 종종 modulo‑1 연산에 의존해 수치적 불안정성을 초래하는 반면, 본 프레임워크는 포화 연산(sat)과 분모 보호(den) 함수를 도입해 값이 (0,1) 구간을 벗어나지 않도록 보장한다. 이는 디지털 구현 시 부동소수점 오버플로우와 언더플로우를 효과적으로 억제한다는 점에서 실용적이다.

구체적으로, F, G, H 세 함수를 각각 ICMIC, Logistic, Sine으로 설정하고, 각 단계에서 현재 변수와 다른 두 변수의 함수값을 가중 평균한 뒤 작은 결합 계수 c로 교차 항을 추가한다. 이때 u₁, u₂, u₃을 sat 연산으로 제한하고, 최종 업데이트는 F(sat(u_i)) 형태로 수행된다. Jacobian 행렬을 전개하면 대각 성분은 각 1차원 맵의 미분값에 비례하고, 비대각 성분은 c에 의해 생성된 교차 항으로 채워진다. 따라서 c≠0이면 시스템은 다방향으로 확장되는 특성을 갖게 되며, 이는 세 개의 양의 Lyapunov 지수를 동시에 확보할 수 있는 수학적 기반을 제공한다.

Lyapunov 분석 결과, α, r, µ 파라미터를 적절히 조정하면 σ₃(Jₙ) > 1을 유지해 λ₃ > 0을 만족한다. 논문에서는 α≈1080, r≈3.73.9, µ≈512 구간에서 전역적으로 양의 지수가 존재함을 실험적으로 확인하였다. 상분기 다이어그램은 파라미터 변화에 따라 복잡한 분기 구조와 혼돈 구역을 명확히 보여주며, 초기 조건에 대한 민감도 실험에서는 δ=10⁻¹⁶ 수준의 미세 차이도 1020 회 반복 후 급격히 발산한다는 전형적인 혼돈 특성을 재현한다.

암호화 측면에서는 3D‑ILS에서 생성된 세 개의 실수 시퀀스를 각각 R, G, B 채널에 매핑하고, 고·저비트를 교차 혼합한 뒤 한 번의 전치와 확산 과정을 적용한다. 전통적인 다라운드 구조와 달리 한 라운드만으로도 높은 NPCR·UACI 값을 얻었으며, 이는 교차 비트 혼합이 채널 간 상관성을 효과적으로 파괴함을 의미한다. 키 공간은 초기값 3×64비트와 파라미터 α, r, µ 각각 64비트, 결합 계수 c 64비트로 구성돼 2^309 수준에 달한다. 실험 결과 평균 엔트로피 7.9993은 거의 완전한 균등 분포를, NPCR 96.61 %와 UACI 33.46 %는 표준 이미지 암호화 기준을 크게 초과한다.

종합하면, 3D‑CCC는 모듈러 연산 없이도 안정적인 초혼돈 생성기를 설계할 수 있는 일반화된 프레임워크이며, 이를 기반으로 한 이미지 암호화는 높은 보안성, 낮은 연산 복잡도, 넓은 키 공간을 동시에 만족한다는 장점을 가진다.