하다마드 다양체에서 Busemann 함수 기반 서브디퍼렌셜과 DC 최적화 혁신

본 논문은 하다마드 다양체(Hadamard manifold)라는 비양의 곡률을 갖는 완비 리만 다양체 위에서 Busemann 함수와 서브디퍼렌셜 이론을 결합하여 차이-볼록(DC) 최적화 문제를 새롭게 접근한다. 1. **배경 및 동기** - 하다마드 다양체는 유클리드 공간을 일반화한 모델로, 대표적으로 하이퍼볼릭 공간과 양정정치 행렬 공간이 있다. 이러한 공간에서는 전통적인 역지수 지도 + 선형 하한 형태의 서브그라디언트가 제공하는 전역적 하한이 지오데식 볼록성을 잃어, 알고리즘 설계에 제약이 된다. - Busemann 함수는 무한히 멀리 떨어진 점을 향한 거리 함수의 극한으로 정의되며, 하다마드 다양체에서 1‑리프시츠 연속이고 그 음함수는 전역적으로 오목(concave)이다. 이 특성을 활용하면 볼록 함수에 대한 더 강력한 하한을 얻을 수 있다. 2. **Busemann 기반 서브디퍼렌셜 정의** - 저자들은 기존 정의(역지수 지도와 서브그라디언트) 대신, Busemann 함수를 이용한 새로운 서브디퍼렌셜을 제시한다. 구체적으로, \(f:M\to\mathbb{R}\)가 볼록일 때, 각 방향 \(\xi\in\partial_{\infty}M\)에 대해 Busemann 함수 \(b_{\xi}\)를 정의하고, \(-\nabla b_{\xi}(p)\)를 서브디퍼렌셜 원소로 채택한다. - 이 정의는 전역적인 오목 하한을 제공하므로, 모든 \(p,q\in M\)에 대해 \