그래프 분수 푸리에 변환의 고속 구현: FGFRFT와 Fourier 급수 근사

본 연구는 그래프 신호 처리(GSP)에서 그래프 분수 푸리에 변환(GFRFT)의 계산 복잡성을 근본적으로 낮추는 새로운 알고리즘, FGFRFT(Fast Graph Fractional Fourier Transform)를 제안한다. 기존 GFRFT는 변환 차수 α에 따라 그래프 라플라시안 또는 인접 행렬의 고유분해를 매번 수행해야 하며, 이 과정은 O(N³)의 시간 복잡도를 갖는다. 특히, α를 학습 파라미터로 다루고자 할 때 매 반복마다 고유분해와 행렬 거듭제곱을 재계산해야 하므로 대규모 그래프에 적용하기 어렵다. 저자들은 이러한 문제를 해결하기 위해 두 가지 핵심 아이디어를 도입한다. 첫째, GFT 행렬 F_G가 유니터리(unitary)라는 가정 하에 고유값 λₖ가 복소 단위 원 위에 위치한다는 사실을 이용한다. λₖ = e^{jθₖ} 로 표현될 때, 차수 α에 대한 변환은 λₖ^α = e^{jαθₖ} 로 간단히 나타난다. 이 함수는 θ에 대한 복소 지수 함수이며, Fourier 급수 전개를 통해 e^{jαθ}=∑_{n=-∞}^{∞}c_n(α)e^{jnθ} 로 표현될 수 있다. 여기서 계수 c_n(α)는 정규화 sinc 함수 c_n(α)=sin