패러볼릭 Hecke 대수의 Kazhdan‑Lusztig 기저와 Schur‑Weyl 이중성 응용

본 논문은 패러볼릭 Hecke 대수 \(H_J(W)\)에 대한 Kazhdan‑Lusztig 이론을 전면적으로 구축하고, 이를 타입 A와 Schur‑Weyl 이중성에 적용한다. 1. **배경 및 정의** - Coxeter 군 \((W,S)\)와 그 Hecke 대수 \(H(W)\)를 기본으로 두고, 패러볼릭 부분군 \(W_J\)에 대응하는 \(q\)-대칭자 \(e_J\)를 정의한다. - 패러볼릭 Hecke 대수는 \(H_J(W)=e_J H(W) e_J\) 로 정의되며, 이는 이중코사트 \(W_J\backslash W /W_J\)에 대한 표준 기저를 갖는다. 2. **두 종류의 Kazhdan‑Lusztig 기저** - **첫 번째 기저 \(\{C^{+}_D\}\)**: 이중코사트 \(D\)마다 길이가 최대인 대표 원소 \(r^{+}(D)\)를 선택하고, 전체 Hecke 대수의 첫 번째 Kazhdan‑Lusztig 원소 \(C_{r^{+}(D)}\)를 투사한다. 이 기저는 Curt(1985)의 접근을 일반화한 것으로, 바‑불변성과 단위 삼각 전개를 만족한다. - **두 번째 기저 \(\{e_J C^{\dagger}_{r^{-}(D)} e_J\}\)**: 길이가 최소인 대표 원소 \(r^{-}(D)\)와 두 번째 Kazhdan‑Lusztig 기저 \(\{C^{\dagger}_w\}\)를 결합한다. 여기서는 idempotent \(e_J\)가 삽입되면서 기존의 대칭성은 깨지지만, 바‑불변성과 다항식 계수 조건을 유지한다. 3. **셀 구조와 셀 모듈** - 두 기저 각각에 대해 왼쪽·오른쪽·양면 셀을 정의하고, 셀 간의 관계를 Bruhat 순서와 연결한다. - 일반적인 결과: \(H_J(W)\)의 셀 모듈은 \(e_J\)에 의해 투사된 \(H(W)\)의 셀 모듈과 동형이며, 이는 특히 타입 A에서 완전히 기술된다. 4. **타입 A에서의 구체적 전개** - \(W=S_n\)이며, 패러볼릭 부분군은 Young 부분합 \(\mu\)에 의해 결정된다: \(H_{\mu}(S_n)=e_{\mu} H(S_n) e_{\mu}\). - 이중코사트 \(S_{\mu}\backslash S_n / S_{\mu}\)와 RSK 대응을 정밀히 연결한다. 각 이중코사트는 두 개의 반표준 Young 표 \((P,Q)\)와 일대일 대응되며, \(P\)와 \(Q\)의 형태가 셀을 결정한다. - 최대·최소 대표 원소는 각각 표의 행·열 길이에 따라 선택되고, 이를 통해 두 종류의 Kazhdan‑Lusztig 기저가 RSK 알고리즘에 의해 명시적으로 기술된다. - 셀 모듈은 Young 표에 의해 라벨링되며, 차원은 표의 표준 방법(훅 길이 등)과 일치한다. 5. **셀룰러 기저와 셀룰러 대수** - Graham‑Lehrer의 셀룰러 대수 이론을 적용해, 두 기저에 대응하는 셀룰러 기저를 각각 구성한다. 이는 대수의 구조 상수와 셀 모듈 간의 관계를 명확히 보여준다. 6. **Schur‑Weyl 이중성에의 적용** - 양자군 \(U_q(\mathfrak{gl}_N)\)의 \(q\)-대칭화된 텐서 파워 \(\bigotimes_{i=1}^d S_{\mu_i}^q V\)에 대한 중앙자를 기술하는 사상 \