연속형 어레이 빔포밍을 위한 효율적 결합 인식 솔버

연속형 개구 배열(CAPA)은 전통적인 이산형 배열과 달리 표면 전류를 연속적으로 배치할 수 있어, 전파 패턴을 미세하게 제어할 수 있다. 그러나 전자기 상호 결합이 전류 분포와 방사 효율에 미치는 영향을 정확히 모델링하지 않으면 빔포밍 성능이 급격히 저하된다. 본 논문은 기존 연구에서 제시된 물리적으로 일관된 결합 커널 c(s) 을 기반으로, 최적 전류 x(s) 를 구하는 함수 최적화 문제를 설정한다. 변분법을 적용하면 최적 전류는 보조 함수 v(s) 에 비례하고, v(s) 는 c(s‑z) 와 목표 채널 h*(s) 의 푸리에 적분 방정식, 즉 Fredholm 제1종 적분 방정식으로 표현된다. 이 방정식을 직접 풀면 연산량이 급증하고, 특히 고주파 영역에서 커널의 특이점 때문에 수치적 불안정이 발생한다. 기존 해결책으로는 커널 근사(KA)와 공액 기울기(CG) 방법이 있었지만, KA는 역커널을 닫힌 형태로 얻어 빠른 연산이 가능하지만 경계 근처에서 발산하고, CG는 반복적으로 선형 시스템을 푸는 방식이라 연산 비용이 샘플 수에 비례해 급증한다. 이를 보완하기 위해 저자들은 두 가지 새로운 솔버를 제안한다. 첫 번째는 극‑삼각형 커널 근사(PKA)이다. 커널을 2차원 파수벡터 κ 에 대해 극좌표 변환 (κx= k0 sinθ cosφ, κy= k0 sinθ sinφ) 과 삼각함수 치환을 적용한다. 이 변환은 분모 √(1‑k²/k0²) 에 포함된 cosθ 와 sinθ 의 곱을 Jacobian (k0² sinθ cosθ) 와 정확히 소거해, k‖‖→k0 근처에서 발생하는 특이점을 제거한다. 이후 Gauss‑Legendre 샘플링을 θ 와 φ 에 각각 적용해 M 개의 노드와 가중치를 얻고, 이를 이용해 M² 개의 파수 샘플을 생성한다. 이렇게 얻은 샘플은 원래 디스크 영역을 균일하게 커버하면서도 커널의 급격한 변화를 정확히 포착한다. 결과적으로 커널 근사식 c(s)≈Zs δ(s)+∑∑ãnm e^{jκnm·s} 의 계수 ãnm 을 안정적으로 계산할 수 있다. 이 방식은 커널 구조를 보존하면서도 이산화 요구를 크게 낮추어, 고해상도 설계에서도 메모리와 연산량을 절감한다. 두 번째는 직접 LU 기반 솔버이다. Nyström 방법으로 적분 방정식(28)을 이산화하면 C v = b 형태의 선형 시스템이 된다. 여기서 C 는 결합 커널 c_rad(s‑z) 와 표면 임피던스 Zs 를 포함한 복소 대칭 행렬이며, 고해상도 샘플링 시 조건수가 크게 증가한다. 저자들은 LU 분해와 부분 피벗팅을 적용해 PC = LU 로 행렬을 삼각화한다. 이후 전방 대입(Ly=Pb)과 후방 대입(Uv=y)만 수행하면 해를 얻을 수 있어, 역행렬 연산에 따른 수치 오차를 회피한다. LU 분해는 한 번 수행하면 이후 여러 최적화 반복(예: WMMSE)에서 재사용 가능하므로, 전체 계산 복잡도가 크게 감소한다. 또한, 부분 피벗팅은 행렬 원소의 성장을 억제해 고정밀도 연산에서도 안정성을 보장한다. 수치 실험에서는 2 GHz~30 GHz 대역, 다양한 배열 크기(Lx, Ly)와 표면 임피던스 값을 대상으로, 목표 방향(θ, φ)으로의 배열 이득을 평가했다. PKA와 LU 솔버는 기존 KA와 CG 대비 평균 12 dB 이상의 이득 향상을 보였으며, 실행 시간은 각각 4배, 5배 정도 단축되었다. 특히, LU 기반 솔버는 N=10,000(≈100 × 100 그리드) 규모에서도 메모리 사용량이 2 GB 이하로 유지되었고, 0.02 초 내에 해를 구해 실시간 최적화에 적합함을 입증했다. 결론적으로, 본 연구는 CAPA 빔포밍에서 필수적인 전자기 결합을 정확히 모델링하면서도, 대규모 설계에 필요한 계산 효율성을 동시에 달성한다. 제안된 극‑삼각형 커널 근사와 LU 기반 직접 솔버는 향후 6G·7G 무선 시스템, 대형 레이더, 위성 통신 등 연속형 개구가 활용되는 다양한 분야에 적용 가능하며, 오프라인 설계 뿐 아니라 실시간 적응 빔포밍에도 유용한 도구가 될 것이다.