Hermite 다항식 곱 적분의 일반 재귀식과 고정밀 계산법

초록

본 논문은 물리학에서 자주 등장하는 N개의 Hermite 다항식 곱에 대한 적분을, 팩토리얼을 전혀 사용하지 않는 재귀식으로 전개한다. 이 재귀식은 단순한 적분‑부분적분과 Hermite 다항식의 기본 관계만을 이용해 유도되며, 수치적 불안정성 없이 고차 다항식까지 정확히 계산할 수 있다. 특히 1차원 조화진동자에 갇힌 소수 입자 시스템의 2‑body·3‑body 접촉 상호작용 행렬원소( W, Y, U)를 효율적으로 구할 수 있어, Configuration Interaction 방식의 ab‑initio 시뮬레이션에 바로 적용 가능하다. 구현된 Mathematica 노트북과 Python 스크립트가 부록으로 제공된다.

상세 분석

이 연구는 Hermite 다항식의 두 핵심 성질, 즉 재귀 관계 (H_n(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x))와 미분식 (\frac{d}{dx}H_n(x)=2nH_{n-1}(x))를 이용해 적분 (T_{a_1\ldots a_N}=A_{a_1\ldots a_N}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-N x^2/2}\prod_{i=1}^NH_{a_i}(x),dx) 에 대한 재귀식을 도출한다. 핵심 식은

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