한계표본과 대규모표본을 잇는 최소극대 강건 검정 이론

본 논문은 분포 불확실성 하에서 가설 검정의 강건성을 다루는 최소극대 강건 검정(MRHT) 분야에 새로운 통합 이론을 제시한다. 먼저 서론에서는 전통적인 파라메트릭·비파라메트릭 접근법의 한계를 짚고, MRHT가 두 접근법 사이의 중간 지점으로서 불확실성 집합 G₀, G₁을 정의하고, 강건 파라미터 ε₀, ε₁을 통해 검정의 보수성을 조절한다는 점을 강조한다. 기존 연구에서는 ε‑contamination, KL‑divergence 등 다양한 불확실성 모델이 제안되었으며, 일부는 유한표본에서도 최소극대 해가 존재하지만, KL‑기반 등은 오직 비대규모표본(Asymptotic)에서만 해가 보장된다. 이러한 상황에서 유한표본과 비대규모표본 사이의 체계적인 연결이 필요함을 제기한다. 관련 연구 파트에서는 Huber의 1965년 논문을 시작으로, Huber‑Strassen, 2‑alternating capacities, 밴드 모델 등 강건 검정 이론의 발전 과정을 정리한다. 특히, 총변동 거리와 밴드 모델이 대표적인 불확실성 집합으로 채택되었으며, 최근에는 Wasserstein, Sinkhorn 거리와 같은 최적 수송 기반 모델이 등장했지만, 본 논문은 전통적인 TV와 밴드 모델에 집중한다. 핵심 이론은 Section II에서 전개된다. 먼저 확률 측정 공간 M 위에 두 불확실성 클래스 G₀⊂M, G₁⊂M을 정의하고, n개의 i.i.d. 관측 Y₁,…,Yₙ에 대해 가설 H₀: Yₖ∼G₀, H₁: Yₖ∼G₁을 설정한다. 오류 확률을 선형 결합한 위험 함수 P_E(δ,G₀,G₁)를 최소극대화하는 결정 규칙 δ와 최소불리한 분포(̂G₀,̂G₁)를 찾는 것이 목표이다. 단일표본 경우(SMR)에서는 우도비 ̂l(Y)=̂g₁(Y)/̂g₀(Y)가 모든 G₀,G₁에 대해 확률적 순서 조건(5)를 만족하면 최적 검정이 존재한다. Theorem II.4는 SMR이 존재하면 모든 유한표본 크기 n에 대해 동일한 (̂G₀,̂G₁)로 FMR이 존재함을 증명한다. 이는 기존 Huber의 결과를 일반화한 것으로, LFD가 샘플 수와 무관하게 동일함을 의미한다. Theorem II.5는 이 확률적 순서 조건이 모든 convex f‑다이버전스 D_f(G₀,G₁)의 최소화와 동등함을 보이며, 이는 f‑다이버전스 최적화가 강건 검정 설계의 핵심임을 강조한다. 다음으로 Theorem II.6은 FMR이 AMR을 함의함을 증명한다. 여기서는 u‑affinity D_u를 이용해 대수적 최적화와 대수적 대수적(large‑deviation) 원리를 결합한다. Assumption II.1(균일 지수 모멘트)와 Assumption II.2(임계값 분리)를 만족하면, LFD가 모든 (G₀,G₁) 대비 최대의 D_u를 제공하고, 따라서 오류 지수도 최소극대가 된다. Section III에서는 두 대표적인 불확실성 모델에 대해 구체적인 LFD와 강건 우도비를 도출한다. 1. 총변동 거리(TV) 모델: G_j = { (1−ε_j)F_j + ε_j H_j | H_j arbitrary } 형태로 정의한다. 기존 Huber는 ε₀=ε₁인 대칭 경우만 다루었지만, 본 논문은 ε₀≠ε₁인 비대칭 경우를 일반화한다. Theorem III.1에서는 최소불리한 밀도 ̂g_j를 두 개의 클리핑 구간