함수체 위 초거리 직교 집합과 하다마드 행렬, 격자 구조의 새로운 계수법

초록

이 논문은 이산값 체 𝔎=𝔽_q((x⁻¹)) 위의 초거리 직교 개념을 이용해, 최대 직교 집합의 크기를 정확히 구하고, 하다마드 행렬의 함수체 아날로그를 정의·계산한다. 또한 𝔽_q

상세 분석

본 연구는 초거리(ultrametric) 구조를 갖는 함수체 𝔎=𝔽_q((x⁻¹)) 위의 벡터공간 𝔎ⁿ에서 ‘직교’라는 개념을 정의하고, 이를 기존 유클리드 공간의 직교와 비교한다. 정의 1.3에 따라, 벡터 u₁,…,u_ℓ가 직교라 함은 모든 스칼라 λ_i에 대해 ‖∑λ_i u_i‖ = max_i‖λ_i u_i‖이 성립하는 경우이며, 약한 직교는 쌍별 직교만을 요구한다. 이러한 정의는 초거리 부등식(Lemma 1.1)과 결합해, 직교 집합이 바로 감소 사영 γ_n∘ρ_n을 통해 𝔽_qⁿ의 선형 독립 집합과 일대일 대응한다는 핵심 명제(Prop 1.9, Lemma 2.2)를 얻는다. 이를 바탕으로 저자들은 (k,ℓ)-직교 집합의 최대 크기 Θ(k,ℓ)_n과 약한 버전 Δ(k,ℓ)_n을 정확히 추정한다. 특히 Theorem 1.6(1)에서는 Θ(k,ℓ)_n이 (k−1)·(q^ℓ−1)/(q−1)·(qⁿ−1) 이하이며, 이 상한이 ℓ=2일 때는 Δ와 일치함을 보인다. 또한 k가 q^ℓ−1의 배수일 경우 상한이 정확히 달성됨을 증명한다. 이러한 결과는 기존 연구(