아벨리안 군과 3색 가능 Cayley 그래프의 완전 분류

초록

아벨리안 군 G에 대해, 지수(exp G)가 1, 2, 4가 아니면 대칭 생성집합 S를 잡아 χ(Cay(G,S))=3인 Cayley 그래프를 만들 수 있다. 반대로 지수가 1, 2, 4이면 어떠한 대칭 집합도 3색 그래프를 만들지 못한다. 연결된 경우에도 G가 유한 생성이면 같은 결과가 성립한다. 또한, 비이분 그래프 X의 이웃 복합체 N(X)의 기본군이나 1차 동형군이 토션이면 χ(X)≥4임을 보이며, 이는 Lovász의 기존 정리를 강화한다.

상세 분석

논문은 먼저 아벨리안 군 G의 지수(exp G)를 핵심 불변량으로 삼아 3‑색이 가능한 Cayley 그래프 존재 여부를 완전히 결정한다. 지수가 1, 2, 4인 경우는 각각 평범한 군, 이항군, 4‑주기 군에 해당하며, 이들에서는 대칭 생성집합 S를 어떻게 잡아도 그래프가 이분이거나 4‑색 이상이 된다. 반대로 exp G가 1, 2, 4를 제외하면, 무한 차수 원소가 있든 없든 적절한 원소 x와 집합 S={±x,±2x} 혹은 S={±x,4x} 등을 선택해 순환군 ⟨x⟩ 위의 3‑색 가능한 그래프를 만들고, 전체 G에 대해 동일한 구조를 복제함으로써 χ=3인 Cayley 그래프를 구성한다. 유한 생성 아벨리안 군에 대해서는 S가 G를 생성하도록 선택해 연결된 Cayley 그래프를 얻을 수 있음을 보인다(정리 5.1).

두 번째 주요 결과는 그래프 X의 이웃 복합체 N(X)와 관련된 위상학적 조건을 색칠 수의 하한으로 연결한다. 기존 Lovász 정리(π₁(N(X))가 1‑연결이면 χ≥3)와 달리, 저자들은 π₁(N(X)) 혹은 H₁(N(X))가 토션(모든 원소가 유한 차수)일 때 χ≥4임을 증명한다. 여기서 핵심은 이산 기본군 π₁(Cay(G,S))를 관계 모듈 R