접선선형화 가우시안 추론의 분포 안정성

본 논문은 매끄러운 매니폴드 위에서 가우시안 확률분포를 다루는 두 가지 핵심 연산, 즉 (1) 투영을 통한 주변화와 (2) 표면 측정에 기반한 조건화에 대해, 접선 공간에 선형화한 뒤 재투영(또는 차트 매핑)하는 “접선‑선형화‑재투영” 방법이 실제 매니폴드‑정의 확률법과 얼마나 차이가 나는지를 와셔스테인 거리 \(W_2\) 관점에서 정량화한다. 이는 로봇 공학에서 비선형 상태공간(예: Lie 그룹, 접촉 제약, 기구학적 매니폴드) 위의 추정·제어 문제에 직접 적용될 수 있다. **1. 배경 및 문제 정의** - 매니폴드 \(M⊂ℝ^n\) 위에 정의된 확률법은 일반적인 유클리드 가우시안과 달리, 주변화·조건화 연산이 비가우시안이며 매니폴드의 기하학에 의존한다. - 기존 연구(Guo et al., 2025)는 접선 공간 \(T_{\tilde μ}M\) 에 선형화하고, 가우시안 식(10)·(11)을 적용한 뒤 재투영하는 워크플로우를 제안했지만, 이 방법이 분포 수준에서 언제 신뢰할 수 있는지는 미정이었다. **2. 와셔스테인 거리와 안정성 기준** - \(W_2\) 거리는 두 확률분포 사이의 2차 모멘트 차이를 직접 제어하므로, 평균·공분산 오차를 동시에 평가할 수 있다. - 논문은 \(W_2\) 거리의 기본 성질(리프시츠 연산, 커플링 정의 등)을 활용해, 접선‑선형화‑재투영 과정에서 발생하는 오류를 상한한다. **3. 주변화에 대한 비점근적 경계 (Theorem III.1)** - 매니폴드의 리치 \(ρ\) 와 지역 곡률 상수 \(κ\) 가 존재하면, 반경 \(r<ρ/2\) 내에서 메트릭 투영 \(g\) 와 재투영 \(\hat g\) 의 차이는 2차 항 \((κ+κ_R)\|x-\tilde μ\|^2\) 으로 제한된다. - 확률적 오류는 두 부분으로 나뉜다: (i) 지역 항 \(C_{\text{loc}}(κ+κ_R) \bigl(E