순환 3차 체의 정수환 Galois 모듈 구조 완전 해석

초록

본 논문은 일반적인 순환 3차 다항식 (f_n(X)=X^3-nX^2-(n+3)X-1) 의 근을 이용해, 모든 순환 3차 체 (L_n=\mathbb{Q}(\rho_n)) 에 대해 정수환 (\mathcal{O}{L_n}) 의 Galois 모듈 구조를 명시적으로 기술한다. 특히, 연관 순서 (\mathcal{A}{L_n/\mathbb{Q}}) 위에서 자유 차원 1인 생성원을 구하고, 완전하게 분류된 정상 정수기저와 야생·완만 분기 경우를 구분한다.

상세 분석

논문은 먼저 일반적인 순환 3차 다항식 (f_n(X)=X^3-nX^2-(n+3)X-1) 을 정규형으로 변형하여, 정수계수를 갖는 다항식 (h_n(X)=X^3+aX+b) 을 얻는다. 여기서 (a=-3\Delta_n/m^2,; b=-(2n_1+3n_2)\Delta_n/m^3) 이며, (\Delta_n=n_1^2+3n_1n_2+9n_2^2) 를 (d e^2 c^3) ( (d,e)는 제곱 자유, ((d,e)=1) ) 로 분해하고, (m)을 (\Delta_n)과 (2n_1+3n_2) 의 최대공약수에 맞춰 정의한다. 이 과정은 Alb­ert의 정수기저 정리(