경로 공간에서의 직교 다항식
본 논문은 확률 과정의 시그니처를 직교화하여 경로 공간 위의 다변량 직교 다항식 체계를 구축한다. 무한 수렴 반경 가정 하에 시그니처 선형 함수가 $L^p$‑함수들을 조밀히 근사함을 보이고, 이를 통해 $L^2$‑수렴 급수를 얻는다. 자유 리 대수 위의 셔플 대수를 다항식으로 해석하고, 재귀 관계와 Favard 정리를 일반화한다. 특히 브라운 운동(시간 포함)에서는 차원에 독립적인 직교 시그니처가 존재함을 증명하고, 수치 실험으로 함수 근사에의…
저자: Ilya Chevyrev, Emilio Ferrucci, Darrick Lee
1. 서론에서는 다변량 직교 다항식이 수치 해석, 물리, 금융 등 다양한 분야에서 차지하는 역할을 소개하고, 경로 공간에서의 다항식 역할을 하는 시그니처의 중요성을 강조한다. 기존의 Stone‑Weierstrass 기반 근사식(1.2)은 컴팩트한 경로 집합에만 적용 가능하고, 차수 증가 시 계수의 불안정성을 야기한다는 문제점을 지적한다. 이를 해결하기 위해 $L^2$‑직교화된 시그니처 전개를 제안한다.
2. Section 2에서는 (2.1)–(2.4)에서 시그니처와 그 무한 차원 텐서 공간 $T((V))$ 를 정의하고, 기대 시그니처의 무한 수렴 반경 가정이 모든 $\lambda>0$ 에 대해 $\|E
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