긴 조밀 사이클의 코드도르 투르난 밀도 급증

본 논문은 $r$‑균일 초밀 사이클 $\mathcal C_\ell^r$ 의 코드도르 투르난 밀도 $\gamma(\mathcal C_\ell^r)$ 를 조사한다. 서론에서는 전통적인 투르난 수 $ex(n,F)$ 와 그 한계인 투르난 밀도 $\pi(F)$ 를 소개하고, 하이퍼그래프에서 최소 $(r-1)$‑도 $\delta_{r-1}$ 를 이용한 코드도르 투르난 수 $ex_{r-1}(n,F)$ 와 그 밀도 $\gamma(F)$ 를 정의한다. 기존 연구로는 $K_4^{(3)}$ 와 같은 작은 클리크에 대한 $\pi$ 와 $\gamma$ 가 아직 미해결이며, 조밀 사이클에 대해서는 $r/\gcd(r,\ell)$ 가 짝수일 때 $\gamma=1/2$ (Han‑Lo‑Sanhueza‑Matamala) 가 알려져 있다. 본 연구의 목표는 $r/\gcd(r,\ell)$ 가 홀수인 경우를 다루는 것이다. 주요 결과인 Theorem 1 은 “모든 $r\ge2$ 와 $k\not\equiv0\pmod r$ 로서 $r/\gcd(r,k)$ 가 홀수인 경우, 충분히 큰 $\ell\equiv k\pmod r$ 에 대해 $\gamma(\mathcal C_\ell^r)\le 1/3$” 라는 것을 보인다. 이 경계는 Construction 2 로부터 무한히 많은 $(r,k)$ 쌍에 대해 정확함을 증명한다. Construction 2 는 정점 집합을 $p$ 개 파트로 거의 균등하게 나누고, 각 에지가 파트 인덱스들의 합이 $1\pmod p$ 일 때만 존재하도록 만든다. 이 그래프는 최소 코드도르가 $(1/p-o(1))n$ 이며, Lemma 4 를 통해 $p\mid r/\gcd(r,\ell)$ 이면 $\mathcal C_\ell^r$ 를 포함하지 않음을 보인다. 따라서 $r/\gcd(r,\ell)$ 의 최소 소인수가 $3$ 일 때 $p=3$ 를 선택하면 $\gamma(\mathcal C_\ell^r)=1/3$ 가 된다. 다음으로 저자들은 무한 가족 $C_r^{\equiv k}$‑hom‑free 그래프를 도입한다. $C_r^{\equiv k}$ 은 길이가 $k\pmod r$ 인 모든 조밀 사이클의 집합이며, “hom‑free”는 동형사상의 이미지까지 금지한다는 의미다. Sankar(2023)의 결과에 따르면, $C_r^{\equiv k}$‑hom‑free 그래프는 특정 $S_r$‑집합 $A_{\mathrm{cyc}^k}$ 로의 “방향성 색칠”이 존재하는 경우와 동치이다. 여기서 색칠은 $S_r$‑작용을 보존하는 사상 $\chi:\widehat E(H)\to A_{\mathrm{cyc}^k}$ 로 정의되고, “accordant” 조건을 만족해야 한다. $A_{\mathrm{cyc}^k}$ 은 $S_r$ 의 순환 전치 $\mathrm{cyc}=(12\cdots r)$ 와 관련된 최대 $\mathrm{cyc}^k$‑conjugate‑avoiding 부분군들의 좌코셋들의 직합으로 구성된다. Theorem 7 (Sankar) 은 $H$ 가 $C_r^{\equiv k}$‑hom‑free 이면 이러한 색칠이 존재함을, 반대로 색칠이 존재하면 $H$ 가 금지된 사이클을 포함하지 않음을 보인다. Theorem 13 은 $r/\gcd(r,k)$ 가 홀수이면 $\gamma(C_r^{\equiv k}\text{-hom})\le 1/3$ 를 증명한다. 증명은 각 색(코사트)마다 평균 코드도르가 $1/3$ 이하가 되도록 하는 조합론적 불가능성을 이용한다. 구체적으로, 색이 $p$ 개일 경우 각 색에 속한 $(r-1)$‑튜플들의 확장 가능성을 분석해, $p\ge3$ 일 때 전체 코드도르가 $n/3$ 를 초과할 수 없음을 보인다. 마지막으로 Lemma 12 를 사용해 충분히 큰 $\ell\equiv k\pmod r$ 에 대해 $\gamma(\mathcal C_\ell^r)=\gamma(C_r^{\equiv k}\text{-hom})$ 임을 연결한다. 따라서 Theorem 1 이 성립한다. 결론에서는 결과의 의미를 논의한다. $r/\gcd(r,\ell)$ 가 짝수일 때는 “완전 짝수 이분 하이퍼그래프”가 최적 구조이지만, 홀수인 경우에는 완전히 다른 구조(예: 3‑파트 색칠) 가 최적임을 보여준다. 또한, 코드도르 밀도는 사이클 길이와 $r$ 의 산술적 관계에 매우 민감함을 강조한다. 향후 연구 방향으로는 $r/\gcd(r,\ell)$ 의 다른 소인수(예: $5$) 에 대한 정확한 경계, 그리고 “방향성 색칠” 개념을 이용한 다른 하이퍼그래프 금지 문제 확장이 제시된다.