스테이블 로컬리 콤팩트 공간 위의 대수 K 이론과 로컬라이징 불변량

이 논문은 스테이블 로컬리 콤팩트(stably locally compact) 공간이라는 새로운 클래스의 위상공간을 도입하고, 그 위에 정의된 스펙트럼값 sheaf 카테고리 \(\operatorname{Sh}(X,\mathrm{Sp})\)가 안정 \(\infty\)-카테고리 이론에서 dualizable 객체임을 증명한다. 이를 위해 저자는 먼저 “way‑below” 관계 \(\ll\)를 정의하고, Sobriety와 \(\ll\)의 두 가지 안정성 조건(모든 열린 집합이 \(\ll\)‑직접합으로 표현되고, 교집합에 대해 \(\ll\)가 보존됨)을 만족하는 공간을 스테이블 로컬리 콤팩트라 명명한다. 이러한 공간은 기존의 locally compact Hausdorff 공간을 포함하고, 또한 스펙트럴(코히어런트) 공간과 같은 비-Hausdorff 예시들을 포괄한다. 다음으로 저자는 스테이블 로컬리 콤팩트 공간 \(X\)에 대해 패치 토폴로지 \(X_{\mathrm{patch}}\)를 정의한다. 패치 토폴로지는 열린 집합 격자 \(O(X)\)에 대한 이중가능한 구조를 반영하며, \(X_{\mathrm{patch}}\)는 일반적인 Hausdorff 경우와 달리 이산화된 형태가 될 수도 있다. 이 토폴로지를 이용해 \(\operatorname{Sh}(X,\mathrm{Sp})\)가 compactly assembled \(\infty\)-카테고리임을 보이며, 따라서 dualizable가 된다(Corollary 3.52). 핵심 결과는 Theorem 6.2(=Theorem 1.3)이다. 여기서 \(C\)는 dualizable 안정 \(\infty\)-카테고리, \(F:\mathrm{Cat}^{\mathrm{perf}}\to\mathcal{E}\)는 유한성 로컬라이징 불변량(예: 알제브라ic K‑이론, THH, TC 등)이며, \(\mathcal{E}\)는 dualizable 안정 \(\infty\)-카테고리이다. 그러면 \