양면 온라인 이분 매칭의 최적 경쟁비율

초록

본 논문은 양쪽 정점이 순차적으로 도착하는 온라인 이분 매칭 문제의 분수형 버전에 대해, 기존에 알려진 하한값 ≈ 0.526과 일치하는 상한값 ≈ 0.526을 증명한다. 이를 통해 경쟁비율의 최적값이 정확히 0.526임을 확정하고, 기존 알고리즘의 최적성을 이론적으로 뒷받침한다. 또한, 정수형 버전에 대한 제한도 논의한다.

상세 분석

논문은 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계에서는 기존에 제시된 양쪽 정점 도착 모델의 어려움을 정량화하기 위해, “Fₙ”이라는 재귀적 함수군을 정의한다. F₁(x)=1−x²−Γ 로 시작하여, ε‑분할을 이용한 최대‑최소 연산을 통해 Fₙ₊₁을 구성한다. 이 함수들은 매칭 알고리즘이 생성한 매칭 크기와 최적 매칭 크기의 차이를 나타내며, n이 커질수록 비감소성, 볼록성, ½‑Lipschitz 성질을 만족한다. 이러한 성질을 이용해 Γ가 Γ*+ε(ε>0)라면 충분히 큰 n에 대해 Fₙ(0)<0이 되므로, 어떤 알고리즘도 Γ보다 높은 경쟁비율을 달성할 수 없음을 보인다.

두 번째 단계에서는 위의 함수군이 실제 알고리즘 분석과 어떻게 연결되는지를 보여준다. Fₙ의 극한 함수 F를 정의하고, G(x)=x²−F(x)라 두면 G는 비감소·볼록·1‑Lipschitz 특성을 가진다. 미분가능한 거의 모든 점에서 G′(x)=g(x)라 두고, g는