베르제 경로의 투란 수 완전 결정

본 논문은 초그래프 이론에서 가장 기본적인 extremal 문제 중 하나인 베르제 경로의 투란 수를 완전히 규명한다. 서론에서는 그래프의 투란 수 $ex(n,F)$와 그 일반화인 $ex_r(n,F)$를 소개하고, Erdős‑Gallai 정리의 베르제 버전인 Győri‑Katona‑Lemons(2016)의 결과를 정리한다. 그들은 $k\ge r+1$일 때 $ex_r(n,\text{Berge-}P_k)\le n\binom{k}{r}$, $k\le r$일 때 $ex_r(n,\text{Berge-}P_k)\le n\frac{k-1}{r}+1$를 보였으며, 이 경계는 $k\mid n$ 혹은 $r+1\mid n$일 때만 정확했다. 이후 Győri‑Lemons‑Salia‑Zamora(2021)는 $k\le r$인 경우를 완전 해결해 $ex_r(n,\text{Berge-}P_k)=\big\lfloor\frac{n}{r+1}\big\rfloor(k-1)+\mathbf{1}_{r+1\nmid n+1}$라는 명시적 식을 얻었다. 그러나 $k>r$인 경우는 아직 남아 있었으며, 이는 본 연구의 핵심 목표가 된다. 논문의 제2장에서는 $k=r+1$인 특수 경우에 대한 별도 증명을 제시한다. Lemma 2.1은 베르제 $P_{r+1}$‑free, 베르제 $C_{r+1}$‑free $r$‑그래프에서 경로의 양끝점이 정의 초변에만 포함된다는 구조적 제약을 보여준다. Lemma 2.2는 베르제 $C_r$가 존재하면 $r+1$개의 정점이 정확히 $r$개의 초변에만 포함된다는 사실을 도출한다. Lemma 2.3은 가장 긴 베르제 경로가 길이 $r$일 때, 크기 $r-1$ 혹은 $r+1$인 정점 집합 $S$가 존재해 $|N_H(S)|\le 1$ 또는 $|N_H(S)|\le r+1$임을 보인다. 이러한 레마들을 바탕으로 최소 반례를 가정하고, $S$를 삭제하거나 사이클을 제거함으로써 더 작은 반례가 생겨 모순을 얻는다. 따라서 $k=r+1$인 경우 $ex_r(n,\text{Berge-}P_{r+1})=p\binom{r+1}{r}+\binom{q}{r}=p(r+1)+\binom{q}{r}$가 성립한다. 제3장에서는 $k>r+1$ 일반 경우를 다룬다. 여기서는 기존의 일반화 투란 수 관계 $ex(n,K_r,F)\le ex_r(n,\text{Berge-}F)$와 Chakraborti‑Chen(2020)의 정리 $N(K_r,G)\le N(K_r,pK_k\cup K_q)$를 활용한다. 저자들은 $ex(n,K_r,\text{Berge-}P_k)$가 $p\binom{k}{r}$를 초과하지 않음을 보이고, 동시에 $n=pk+q$인 경우 정점을 $k$-크기의 블록으로 나누어 각 블록의 모든 $r$-부분집합을 초변으로 취하는 구성이 하한을 달성함을 확인한다. 이 구성은 바로 $p\binom{k}{r}+\binom{q}{r}$개의 초변을 갖는다. 따라서 $ex_r(n,\text{Berge-}P_k)=p\binom{k}{r}+\binom{q}{r}$가 성립한다는 최종 정리를 얻는다. 논문은 또한 이 결과가 Chakraborti‑Chen의 정리를 강화한다는 점을 강조한다. 그들의 정리는 그래프 $G$가 $P_k$‑free일 때 $N(K_r,G)$의 상한을 제시했지만, 본 논문은 같은 상한을 초그래프의 투란 수 형태로 직접 얻어, 베르제‑그래프 사이의 관계를 보다 명확히 한다. 마지막으로, 저자들은 제시된 레마들이 베르제 사이클, 베르제 트리 등 다른 베르제 구조의 투란 수 연구에도 적용 가능함을 언급하며, 향후 연구 방향을 제시한다. 요약하면, 이 논문은 $k>r$인 모든 경우에 대해 베르제 경로의 투란 수를 정확히 구함으로써, 2016년부터 이어져 온 일련의 부분 결과들을 하나의 완전한 정리로 통합한다. 이는 초그래프 이론과 일반화 투란 문제 사이의 깊은 연결 고리를 제공하고, 향후 베르제 구조의 extremal 연구에 중요한 토대를 마련한다.