모델 오류 임베딩과 직교 가우시안 프로세스

본 연구는 복잡한 물리 시스템 모델링에서 불가피하게 발생하는 모델 오류를 정량화하고, 모델 파라미터와 오류를 동시에 추정하면서도 두 요소를 명확히 구분할 수 있는 새로운 베이지안 프레임워크를 제시한다. 기존의 Kennedy‑O’Hagan(KOH) 접근법은 모델 출력에 독립적인 가우시안 프로세스(GP) 오류를 더해 전체 시스템을 보정했지만, 데이터가 모델 파라미터와 오류 GP 사이에 어떻게 정보를 전달하는지 제어하기 어려워 파라미터 추정이 편향되는 문제가 있었다. 이를 해결하기 위해 저자들은 먼저 GP를 함수 공간이 아닌 가중치 공간(weight‑space)으로 표현한다. Mercer 전개를 이용해 커널의 고유함수와 고유값을 구하고, 제한된 수의 가중치만을 추정 대상으로 삼아 비선형 모델 내부에 직접 오류 함수를 삽입한다. 이 방식은 비선형 모델이 비가역적이더라도 가중치에 대한 베이지안 업데이트가 가능하도록 만든다. 그러나 가중치 수를 제한하면 훈련 데이터 외부에서 사전 예측 분산이 급격히 감소하는 ‘분산 결핍’ 현상이 발생한다. 논문은 이를 시각화하고, 분산 결핍이 커버리지에 미치는 영향을 정량적으로 분석한다. 다음으로, 모델 파라미터와 오류 GP 사이의 직교성을 강제하는 Orthogonal Gaussian Process(OGP) 제약을 도입한다. 두 가지 구현 방법이 제시된다. 첫 번째는 Linearized OGP(LOGP)로, 모델 출력에 대한 1차 테일러 전개를 사용해 파라미터 공간의 기울기와 오류 GP가 직교하도록 선형 제약을 만든다. 두 번째는 Regularized OGP(ROGP)로, 사후 확률에 직교성 정규화 항을 추가해 파라미터와 오류 가중치가 거의 상관되지 않도록 한다. 이러한 제약은 특히 모델 자체의 물리적 의미를 유지하면서 오류 GP가 데이터에 과도하게 적합되는 것을 방지한다. 고차원 파라미터 공간으로 인한 계산 부담을 완화하기 위해 Likelihood‑Informed Subspace(LIS) 방법을 적용한다. LIS는 관측 데이터가 가장 크게 영향을 미치는 방향을 찾아 저차원 서브스페이스를 구성하고, 그 서브스페이스 내에서 GP 가중치를 추정한다. 이를 통해 충분히 풍부한 고유함수 집합을 유지하면서도 샘플링 효율을 크게 향상시킨다. 제안된 프레임워크는 세 가지 사례에 적용되어 검증된다. (1) 선형 모델에서는 오류 GP가 정확히 추정되어 파라미터와 오류가 거의 독립적인 사후를 보였다. (2) 비선형 서브모델이 상호작용하는 시스템에서는 LOGP와 ROGP 모두 파라미터와 오류 가중치 간 상관을 크게 감소시켰으며, 모델이 데이터 범위 내에서 높은 정확도를 유지하면서 외삽 구간에서는 사전 분산으로 회귀하였다. (3) 대류‑확산‑반응 PDE에서는 공간·시간 상관성을 갖는 GP 오류를 모델 내부에 삽입함으로써, 관측된 온도·농도 프로파일을 정확히 재현하면서도 물리 법칙(보존 법칙 등)을 위배하지 않는 예측을 제공했다. 특히 외삽 테스트에서 오류 GP는 사전 분산을 회복했으며, 파라미터 사후는 거의 독립적인 형태를 유지했다. 결론적으로, 이 논문은 (i) 가중치 공간 GP를 통한 모델 오류 임베딩, (ii) 직교 제약을 통한 파라미터‑오류 분리, (iii) LIS 기반 차원 축소라는 세 축을 결합해 기존 KOH 방식의 한계를 극복하고, 복잡한 비선형 모델에서도 실용적인 베이지안 캘리브레이션을 가능하게 한다는 점에서 큰 학술적·실무적 기여를 한다. 향후 연구에서는 다중 정확도 수준의 모델 결합, 비정상적 관측 노이즈 처리, 그리고 대규모 고성능 컴퓨팅 환경에서의 스케일링을 탐색할 여지가 있다.