균등 그룹분할설계와 최대 포장에 대한 색칠 이론

초록

본 논문은 군분할설계(GDD)와 포장설계(PD)의 색칠 문제를 다룬다. 블록‑균등(block‑equitable) c‑색칠이 가능한 k‑GDD(gᵘ)의 존재조건을 완전히 규명하고, 블록‑크기 4인 최대 블록‑균등 2‑색가능 포장을 직접 구성한다. 또한 c>2에 대한 상한을 일반화하고, 임의의 색수 c와 충분히 많은 그룹을 갖는 균등 k‑GDD의 점근적 존재성을 증명한다. 마지막으로 그룹을 단색 혹은 균등하게 색칠하도록 강제하는 추가 제약 하에서의 약색칠(weak‑colouring) 결과도 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 색칠 개념을 명확히 정의한다. 약색칠은 어떤 블록도 단색이 되지 않도록 점에 색을 배정하는 것이고, 블록‑균등 색칠은 각 블록 안에서 모든 색쌍이 거의 같은 횟수(차이가 1 이하)로 나타나도록 요구한다. 이러한 정의를 BIBD, GDD, PD에 모두 적용한다.
핵심 정리는 다음과 같다.

1. Theorem 2.6: k‑GDD of type gᵘ가 블록‑균등 c‑색칠 가능 ⇔ (i) u ≤ c ≤ ug, 혹은 (ii) k = u, 혹은 (iii) k = u‑1 이며 c | u. 이 조건은 색의 수가 그룹 수보다 작을 때는 각 그룹을 서로 다른 색으로 채워 블록 안에 서로 다른 색을 배치할 수 있음을, k = u인 경우는 TD(k,g) 구조가 존재함을, 그리고 k = u‑1인 경우는 색을 그룹에 균등하게 나눠줄 수 있음을 보여준다.
2. Maximum Packing Bound: 기존 연구