두 코일이 만든 자기장으로 구동되는 수직 펜듈럼의 비선형 동역학

초록

강한 네오디뮴 자석과 대칭 배치된 두 전자코일 사이의 상호작용을 이용해 수직 펜듈럼을 구동한다. 전류 부호와 크기에 따라 이중안정(bistable) 또는 삼중안정(tristable) 포텐셜이 형성되며, 정현파 전류 입력에 대해 조화균형법과 수치 시뮬레이션을 수행해 주파수 응답, 진동 궤적, 다중안정 현상을 분석한다. 실험 결과는 수치 해와 높은 일치를 보인다.

상세 분석

본 논문은 네오디뮴 영구자석이 부착된 수직 펜듈럼에 두 개의 대칭 코일을 배치하고, 코일에 흐르는 전류에 의해 발생하는 자기력을 토크 형태로 모델링한다. 저자들은 전자기학의 ‘자기 전하’ 모델을 채택해 코일‑자석 사이의 힘을 쿠롱 법칙과 유사한 형태로 유도하고, 이를 각도 θ에 대한 비선형 토크 Γ₂(θ) 로 정리하였다. 토크식은 sin(θ±α)와 (1+ε−cos(θ±α))³/² 형태의 비선형 함수를 포함해, 전류 I₁, I₂가 직접적인 스케일링 인자 σ와 결합한다.

정적 평형점은 Γ₂와 중력·스프링·감쇠 토크의 합이 0이 되는 조건으로 도출되며, 전류 부호에 따라 3개(양·음 전류 혼합) 혹은 5개의(동일 부호) 평형점이 존재한다. 저자들은 1차·4차 테일러 전개를 이용해 근사식(13)을 얻고, 뉴턴‑랩슨법으로 수치 검증하였다. 고유값 분석을 통해 각 평형점의 안정성을 판단했으며, 실질적으로 ‘중간’ 평형점은 불안정하고 양쪽 외측 평형점은 안정적인 특성을 보였다.

포텐셜 함수 U(θ)는 Γ₂를 적분한 형태로, σ·I₁·(1+ε−cos(θ−α))⁻¹·²와 σ·I₂·(1+ε−cos(θ+α))⁻¹·² 항이 중력·스프링 포텐셜과 합쳐진다. 전류가 모두 음이면 대칭 이중안정 포텐셜이, 전류 부호가 서로 다르면 비대칭 이중안정, 전류가 모두 양이면 대칭 삼중안정 포텐셜이 형성된다. 포텐셜 형태는 시스템의 비선형 응답을 결정짓는 핵심 요소이다.

동적 해석에서는 전류를 i₁(t)=I₁·sin(ωt), i₂(t)=I₂·sin(ωt) 형태의 정현파로 가정하고, 조화균형법(HBM)을 적용해 1차 조화 근사를 구했다. HBM 결과는 주파수‑진폭 곡선에 급격한 점프와 히스테리시스를 예측한다. 이를 보완하기 위해 4차 Runge‑Kutta와 고정점 추적을 이용한 수치 시뮬레이션을 수행했으며, 2차원 파라미터(전류 진폭·주파수) 평면에서 복잡한 분기 구조와 다중공존(attractor coexistence) 현상을 확인했다. 특히, 전류 진폭이 임계값을 초과하면 삼중안정 구역이 나타나며, 초기 조건에 따라 서로 다른 정착점에 수렴한다.

실험 장치는 0.2 Hz~10 Hz 범위의 신호 발생기와 5 A 이하의 전류를 공급하는 전원, 그리고 고감도 각도 센서를 포함한다. 측정된 θ(t)와 시뮬레이션 결과는 위상 궤적, 파워 스펙트럼, 주파수 응답 곡선에서 일치도를 90 % 이상 보였다. 이는 모델링에 사용된 자기 전하 상수 k와 피팅 파라미터 a, b가 실제 코일‑자석 상호작용을 충분히 포착함을 의미한다.

결론적으로, 전류 부호·크기에 따라 포텐셜 형태가 변하고, 이에 따라 시스템은 이중안정·삼중안정·비대칭 다중안정 등 다양한 비선형 현상을 보인다. 조화균형법과 수치 시뮬레이션, 실험 검증을 결합한 접근법은 자기 구동 펜듈럼의 설계와 제어에 유용한 분석 틀을 제공한다.