삼차원 비가역 솔버블 군의 서브리만 기하학: 펜듈럼 대칭과 맥스웰 집합

초록

연결·단순연결된 비가역 솔버블 3차원 리군에서 접 구조에 대한 서브리만 최적제어 문제를 연구한다. 수직 해는 교란된 펜듈럼 방정식으로 환원되며, 위상공간 분석을 통해 비자명 대칭을 발견한다. 이러한 대칭에 대응하는 맥스웰 집합을 완전히 기술하고, 거의 모든 정상극선에 대해 첫 맥스웰 시간이 펜듈럼 주기와 일치함을 보인다. 결과적으로 펜듈럼 주기가 절단 시간의 명시적 상한을 제공한다.

상세 분석

본 논문은 3차원 솔버블 비가역(非nilpotent) 정칙 Lie 군 (G(\theta)=\mathbb R\times_{\rho}\mathbb R^{2}) 에 정의된 접(서브리만) 구조의 최적제어 문제를 다룬다. 군의 리대수 (\mathfrak g(\theta)=\mathbb R\times_{\theta}\mathbb R^{2}) 는 (\theta) 가 (\det\theta\cdot\operatorname{tr}\theta\neq0) 인 경우에 정칙이라 정의한다. 이때 2차원 왼쪽 불변 분포 (\Delta_{\eta}) 를 선택하고, ({(1,0),(0,\eta)}) 를 정규직교기저로 잡아 서브리만 메트릭을 부여한다. 최적화 문제는 제어 (u=(u_{1},u_{2})) 와 상태 (g=(z,w)) 에 대해 \