무작위 정규 그래프의 표준 라벨링

본 논문은 무작위 d‑정규 그래프 𝔾ₙ,₍d₎에 대한 표준 라벨링(canonical labeling) 문제를 다룬다. 표준 라벨링은 그래프 동형성 검증을 선형 시간으로 환원시키는 핵심 도구이며, 일반적인 경우에는 아직도 준다항식 시간 알고리즘이 알려져 있지 않다. 그러나 정규 그래프, 특히 차수가 일정하거나 충분히 큰 경우에는 보다 효율적인 방법이 존재한다. 저자들은 먼저 색상 정제(Color Refinement, CR) 알고리즘을 소개한다. CR은 초기 색칠 C₀를 입력받아, 각 라운드 t에서 정점 v의 색을 (C_{t‑1}(v), 멀티셋{C_{t‑1}(u) | u∈N(v)}) 로 갱신한다. 이 과정은 색상이 더 이상 변하지 않을 때까지 반복된다. CR이 최종적으로 모든 정점에 서로 다른 색을 부여하면, 색상의 사전 순서에 따라 정점을 번호 매기면 즉시 표준 라벨링이 된다. 하지만 정규 그래프에 대해 무색(모두 같은 색) 초기 상태를 사용하면 CR은 즉시 멈추어 버린다. 따라서 논문은 “비자명 초기 색칠”—즉 정점 집합을 두 개 이상의 파트로 미리 나누는 경우—을 전제로 한다. 이 전제 하에 두 주요 정리를 증명한다. **Theorem 4**는 임의의 비자명 파티션