양극 펄스 주파수 변조를 이용한 양자화 오차 분석

본 논문은 균등 양자화기의 잡음 특성을 기존의 통계적 접근이 아닌, 펄스 주파수 변조(PFM) 이론을 활용해 해석한다. 먼저, 입력 신호 x(t)를 적분하고 그 적분값을 Δ 간격의 양자화기로 양자화하는 전통적인 구조를 제시한다. 이 구조는 적분‑양자화 후 출력 y_q(t)와 동일한 형태의 신호를 생성하는 PFM 인코더와 수학적으로 동일함을 보인다. PFM 인코더는 입력 신호의 적분값이 Δ만큼 증가할 때마다 δ 펄스를 발생시키며, 이 δ 펄스들의 평균값이 원래 입력 신호를 복원한다는 특성을 가진다. 그러나 일반적인 PFM는 입력이 양수일 때만 동작하도록 정의되어 있다. 입력을 미분한 w(t)=dx/dt를 PFM에 적용하면 양·음 부호가 모두 나타나므로, 저자들은 절대값을 취해 “양극 PFM”을 정의한다. 이 정의에 따르면 δ 펄스는 |∫_{t_{k-1}}^{t_k} w(t)dt|=Δ 일 때마다 발생하고, 부호는 펄스의 크기 P_k에 반영된다. 이렇게 정의된 양극 PFM는 원래의 양자화 출력 y_q(t)와 정확히 일치하는 적분 신호 y_p(t)를 생성한다. 다음으로, 양극 PFM 신호 d(t)를 삼각함수 급수로 전개한다. 입력이 정현파 v(t)=v_m + B·cos(2πf_x t)일 경우, d(t)는 기본 주파수 f_0(DC 성분에 의해 결정)와 입력 주파수 f_x의 조합으로 이루어진 사이드밴드들의 합으로 표현된다. 전개식에는 Bessel 함수 J_r(·)가 등장하며, 각 사이드밴드의 진폭은 J_r(q·B·f_x·Δ)·(1+r·f_x/(q·f_0)) 형태로 나타난다. 레벨 크로싱 ADC와 제로‑오더‑홀드 보간을 가정하면 v_m=0, f_0=0이므로 모든 사이드밴드가 DC를 중심으로 대칭한다. 양자화 오차 e(t)는 y_p(t)−x(t) 로 정의되며, 전개식 (8)에서 Δ·Σ_{q=1}^{∞} Σ_{r=−∞}^{∞} J_r(q·2πAΔ)/q·sin(2πr f_x t) 로 나타난다. 이는 무한히 많은 고조파 성분의 합이며, 각 성분은 Bessel 함수에 의해 가중된다. 따라서 양자화 잡음은 백색 잡음이 아니라 특정 조화 주파수에 집중된 비백색 스펙트럼을 가진다. 이 스펙트럼은 푸리에 변환을 통해 (9)와 같이 δ 함수들의 집합으로 명시적으로 표현된다. 이론적 결과를 검증하기 위해 저자들은 시뮬레이션을 수행한다. 먼저, Δ=1, A=5인 2 kHz 사인파 입력에 대해 양극 PFM와 양자화 출력을 시뮬레이션하고, 전개식 (7)·(8)을 1000개의 조화와 50개의 사이드밴드까지 제한하여 계산한다. 시뮬레이션 결과는 δ 펄스와 양자화 단계가 일치함을 보여주며, 제한된 급수 때문에 발생하는 Gibbs 현상이 관찰된다. 이어서, 10‑bit 풀스케일(A=512) 입력에 대해 FFT를 수행하고, 이론식 (8)으로 계산한 스펙트럼과 비교한다. 두 스펙트럼은 매우 높은 일치도를 보이며, 각 사이드밴드(q=1~10)의 진폭도 정확히 예측된다. 결론적으로, 논문은 (1) 균등 양자화와 양극 PFM의 수학적 동등성을 증명하고, (2) Bessel 함수 기반의 정확한 양자화 오차 식을 도출했으며, (3) 이를 레벨 크로싱 ADC와 제로‑오더‑홀드 보간기에 직접 적용할 수 있음을 입증했다. 이 모델은 설계 단계에서 양자화 잡음의 주파수 특성을 정량적으로 예측하고, 필요에 따라 사이드밴드 억제 혹은 잡음 shaping 기법을 설계하는 데 유용한 도구가 될 것이다.