스탠리와일프 한계와 퓌레디하이날 한계 사이의 이차 관계 개선

초록

본 논문은 순열 행렬 $P$에 대해 정의되는 스탠리‑와일프 한계 $s_P$와 퓌레디‑하이날 한계 $c_P$ 사이의 기존 이차 상한 $s_P\le 2.88,c_P^2$를 개선한다. ‘블록 수축’ 기법을 도입해 $t$×$t$ 블록을 하나의 원소로 압축하고, 압축된 행렬의 가능한 형태를 퓌레디‑하이날 한계와 결합해 새로운 상수 함수
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상세 분석

이 논문은 순열 행렬 $P$에 대한 두 가지 핵심 극한값, 즉 스탠리‑와일프 한계 $s_P$와 퓌레디‑하이날 한계 $c_P$ 사이의 정량적 관계를 재조명한다. 기존에 Cibulka가 제시한 $s_P\le2.88,c_P^2$는 ‘그리디 삭제’ 알고리즘을 이용해 $P$를 회피하는 $n\times n$ 순열 행렬의 개수를 상한했지만, 상수 2.88는 블록 구조를 충분히 활용하지 못한 결과였다. 저자들은 ‘블록 수축(block contraction)’이라는 새로운 아이디어를 도입한다. 구체적으로 $n\times n$ 행렬을 $t\times t$ 크기의 작은 블록으로 분할하고, 각 블록 안에 $P$를 포함하지 않도록 최대 $c_P t$개의 1을 배치할 수 있다는 퓌레디‑하이날 한계의 정의를 이용한다. 그런 다음 각 블록을 하나의 원소로 압축해 $n/t\times n/t$ 크기의 ‘압축 행렬’ $\widetilde A$를 만든다.

압축 행렬 $\widetilde A$는 각 원소가 0 혹은 1이며, 1이 들어간 블록은 내부에 $c_P t$ 이하의 1을 가질 수 있다. 따라서 $\widetilde A$에 대한 가능한 배치 수는 $\binom{t^2}{\le c_P t}\le (15)^{c_P t}$ 로 추정된다(여기서 15는 $t^2$ 중 $c_P t$개를 선택하는 경우의 상한을 간단히 잡은 상수이다). 이어서 압축된 행렬을 원래 크기로 복원하는 과정에서, 각 1이 들어간 블록 안에서 실제 1의 위치를 선택하는 경우의 수는 $t!$ 이하가 된다. 따라서 전체 순열 행렬의 개수는
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