난류 확산의 비국소 대칭 레비 연산자에 의한 확률적 동질화 연구

본 논문은 비국소 대칭 레비 연산자와 발산이 0인 드리프트가 결합된 난류 확산 모델을, 에르고딕 무작위 환경에서 확률적 동질화하는 문제를 체계적으로 다룬다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 문제 설정과 기존 연구 동향을 소개한다. 비국소 레비 연산자 $L$는 점프 과정의 발생률을 기술하는 Lévy 측도 $\nu$에 의해 정의되며, 대칭성($\nu(A)=\nu(-A)$)을 가정한다. 드리프트 $b$는 $∇·b=0$인 발산 자유 벡터장으로, 물리적으로는 난류 흐름의 회전 성분을 나타낸다. 환경은 확률 공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 위에 정의된 에르고딕 변환군 $\{\tau_x\}_{x\in\mathbb{R}^d}$에 의해 전이되며, $L^\varepsilon(\omega)$와 $b^\varepsilon(\omega)$는 $\tau_{x/\varepsilon}\omega$에 의존한다. 기존 동질화 연구는 주로 $b$와 그 스트림 함수 $\psi$가 $L^\infty$에 속하거나, 레비 측도가 강한 순간(예: $\int_{|z|>1}|z|^2\nu(dz)<\infty$)을 요구했지만, 실제 난류에서는 이러한 가정이 과도하게 제한적이다. 두 번째 부분에서는 보정함수(corrector)와 그 정규성 추정에 대한 핵심 결과를 제시한다. 보정함수 $\chi_i(\omega,x)$는 $i$번째 좌표 방향에 대한 “세포 문제”를 풀어 얻으며, \