대각선 부분반군과 합동의 개수 비교

초록

반군 S에 대하여, 대각선 부분반군 ρ는 S 위의 반사적이며 호환되는 관계, 즉 대각선 {(s,s) | s∈S}를 포함하는 직각곱 S×S의 부분반군으로 정의한다. S가 유한일 때, 대각선 부분반군의 개수에 대한 합동의 개수 비율을 DSC 계수 χ(S)라 정의한다. 이전 연구에서는 χ(S)=1이 되는 경우는 S가 군일 때와 동치임을 관찰하였다. 본 논문에서는 0<α≤1인任의 유리수 α에 대해 χ(S)=α인 반군 S가 존재함을 보인다. 이를 위해 Rees 행렬 반군 구성을 이용하고, 해당 반군들의 합동 분류를 변형하여 대각선 부분반군을 기술한다.

상세 요약

이 논문은 반군 이론에서 비교적 새로운 개념인 “대각선 부분반군”(diagonal subsemigroup)을 이용해 반군 구조를 정량적으로 분석한다. 먼저, 반군 S의 직각곱 S×S는 자연스럽게 반군 구조를 갖는데, 이 안에서 대각선 Δ={ (s,s) | s∈S }를 포함하고 반사적이며 호환되는 관계를 부분반군으로 취하면 바로 대각선 부분반군이 된다. 이러한 관계는 전통적인 합동(congruence)과는 달리 반드시 동등류(partition)를 형성하지 않으며, 따라서 합동보다 훨씬 풍부한 경우의 수를 제공한다.

논문은 유한 반군에 한정하여, 대각선 부분반군의 총 개수를 N₁(S), 합동의 총 개수를 N₂(S)라 두고, 그 비율 χ(S)=N₂(S)/N₁(S)라는 “DSC 계수”를 정의한다. 이전 연구에서 χ(S)=1 ⇔ S가 군이라는 결과는, 군에서는 모든 대각선 부분반군이 실제로 합동과 일치한다는 사실을 반영한다. 즉, 군 구조에서는 반사적·호환적 관계가 자동으로 동치 관계가 되므로, 대각선 부분반군과 합동이 일대일 대응한다는 의미이다.

본 연구의 핵심은, 이 비율이 0과 1 사이의 임의의 유리수까지 연속적으로 달성될 수 있음을 보이는 데 있다. 이를 위해 저자는 Rees 행렬 반군이라는 강력한 구성 도구를 활용한다. Rees 행렬 반군 M