Hilbert 공간에서 두 고정점 알고리즘의 형식화

초록

본 논문은 Lean 4 인터랙티브 정리 증명기를 이용해 실수 힐베르트 공간에서 비팽창 연산자에 대한 Krasnosel’skiĭ–Mann(KM) 반복과 Halpern 반복의 수렴성을 형식화한다. 약한 위상, 비팽창 연산자, Fejér 단조성 등을 정리하고, 이를 바탕으로 두 알고리즘의 약한 수렴 정리를 기계 검증한다.

상세 분석

이 연구는 수학적 형식화와 최적화 이론을 연결하는 중요한 시도이다. 먼저 저자들은 실수 힐베르트 공간 (H)에 대한 약한 위상을 WeakSpace 형태로 정의하고, 기존 mathlib이 제공하는 WeakDual(약한 별 위상)과의 연결 고리를 직접 구현한다. 특히, 약한 수렴을 필터 기반 정의와 내적 기반 정의 사이의 동등성을 정리한 weakConverge_iff_inner_converge 정리는 Riesz 표현 정리를 활용해 완비성을 가정함으로써, 모든 연속 선형 함수가 내적과 동일시될 수 있음을 보인다.

다음으로 비팽창 연산자 (T:H\to H)를 Nonexpansive 클래스로 도입하고, Browder의 demiclosedness 원리(theorem demiclosed_of_nonexpansive)를 형식화한다. 이 원리는 약한 수렴열의 극한이 연산자에 의해 고정점이 되는 중요한 도구이며, 이후 KM 및 Halpern 반복의 수렴 증명에 핵심적으로 사용된다.

Fejér 단조성에 대한 정의와 그 기본 성질—예를 들어 Fejér 단조열이 유계이며, 폐집합에 대한 거리 함수가 감소한다는 정리—를 FejérMonotone 구조체와 여러 보조 정리(fejer_monotone_bounded, fejer_monotone_converge_to_proj)로 구현한다. 이는 고정점 집합이 볼록 폐집합일 때, 반복열이 그 집합에 대한 투영점으로 약하게 수렴함을 보이는 기반이 된다.

KM 반복에 대해서는 가중치 ({\alpha_n}\subset