다이버전스 형태 방정식의 전역 비정칙 리프시츠 약해 해 존재성

초록

본 논문은 구조적 조건 Oₙ을 만족하는 발산형 PDE에 대해, 경계값을 고정한 뒤에도 전역에서 어디에서도 C¹가 되지 않는 리프시츠 약해 해가 무수히 존재함을 보여준다. 이를 위해 파동 원뿔과 Tₙ‑구성을 이용한 새로운 convex integration 기법을 개발하고, 강다항볼록(strongly polyconvex) 함수들의 Euler–Lagrange 방정식에 적용한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 강단조(monotone) 혹은 강준단조(quasimonotone) 조건이 주어지면 Lipschitz 해가 부분적으로 C^{1,α} 정칙성을 갖는다는 기존 결과와 대비한다. 저자들은 이러한 정칙성 가정을 완화하여, σ:ℝ^{m×n}→ℝ^{m×n}가 “Condition Oₙ”(N≥2)을 만족하면, 전혀 C¹가 되지 않는 Lipschitz 약해 해가 존재한다는 새로운 정리를 제시한다. 핵심 아이디어는 (1.1) div σ(Du)=0을 “첫 번째 차수 부분 미분 관계”인
 div V=0, (Du,V)∈K (K={ (A,σ(A)) })
로 재구성하고, 이를 convex integration 프레임워크에 끼워 넣는 것이다.

이를 위해 저자들은 파동 원뿔 Γ={ (p⊗a, B) | B a=0 }를 정의하고, Lemma 2.1에서 Γ에 속하는 γ와 임의의 λ∈