트리 그래프와 켤레 오즈를 이용한 다변량 결측 데이터 모델링

초록

본 논문은 패턴 그래프의 한정된 형태인 트리 그래프와 켤레 오즈(conjugate odds) 패밀리를 결합해 MNAR(결측이 아닌 무작위) 상황에서 완전 데이터 분포를 비모수적으로 식별하고, 관측 데이터와 결측 데이터에 각각 적합한 모델을 동시에 제공한다. 트리 그래프의 구조적 단순성, 켤레 오즈의 보존 특성, 그리고 그래프 선택·민감도 분석·통계 추론 절차를 제시한다. 시뮬레이션과 알츠하이머 데이터 실증을 통해 방법의 실용성을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존 패턴 그래프 이론을 확장하여 ‘트리 그래프’라는 보다 제한적이면서도 실용적인 서브클래스를 정의한다. 트리 그래프는 모든 결측 패턴이 완전 관측 패턴(1…1)에서 시작해 유일한 경로를 따라 하위 패턴으로 전이되는 구조이며, 이는 그래프가 최소한의 엣지를 갖는 ‘아르보레스센스(arborescence)’와 동일하다. 이러한 구조는 두 가지 중요한 식별 결과를 제공한다. 첫째, 트리 그래프 자체가 하나의 MNAR 가정을 의미하며, 선택 오즈(selection odds)와 패턴 혼합(pattern‑mixture) 모델이 서로 동등함을 보인다. 둘째, 트리 그래프 하에서는 선택 오즈 비율이 각 단계별 관측 변수 집합에만 의존하도록 분해될 수 있어, 전체 데이터 분포 p(x,r)를 비모수적으로 복원할 수 있다.

‘켤레 오즈(conjugate odds) 패밀리’는 선택 오즈를 특정 파라메트릭 형태(예: 로짓 선형, 베타‑비율 등)로 지정하면서도, 관측된 데이터에 대한 사후 분포가 원래 완전 데이터 모델과 같은 형태(conjugate)를 유지하도록 설계된다. 즉, 완전 데이터가 다변량 정규분포라면, 켤레 오즈를 적용한 후에도 관측 데이터는 정규‑정규 형태를 유지하고, 결측 부분에 대해서는 간단한 조건부 분포(예: 정규 조건부)로 대체할 수 있다. 이 특성은 베이지안 추정에서 사후 샘플링을 효율화하고, 다중 삽입(multiple imputation) 과정에서 일관된 불확실성 전파를 가능하게 한다.

트리 그래프와 켤레 오즈를 결합하면, 관측 데이터에 대한 모델링과 결측 데이터에 대한 삽입 모델이 동시에 정의된다. 구체적으로, 트리 그래프의 각 엣지는 선택 오즈 모델을 하나만 필요로 하며, 켤레 오즈 패밀리는 이 선택 오즈를 파라메트릭하게 지정한다. 따라서 전체 모델은 ‘관측‑결측’ 이중 구조를 갖는 하나의 통합 확률 모델이 된다.

그래프 선택 측면에서는 저자들이 세 가지 접근법을 제시한다. (1) 사전 지식 기반: 도메인 전문가가 제시한 변수 간 인과 관계나 조사 설계에 따라 트리 구조를 직접 지정한다. (2) 부분 순서(partial‑ordering) 기반: 변수들의 자연스러운 순서(예: 시간 흐름, 단계적 설문)에서 가능한 트리를 제한한다. (3) 데이터‑구동(data‑driven) 방법: 관측된 결측 패턴 빈도와 통계적 적합도(AIC/BIC) 등을 이용해 후보 트리를 탐색하고, 교차 검증으로 최적 트리를 선택한다.

민감도 분석은 트리 그래프의 가정이 약간 변했을 때 추정량이 얼마나 변하는지를 평가한다. 저자들은 선택 오즈의 베타 파라미터를 일정 범위 내에서 변동시키는 ‘오즈 민감도 구간(odds sensitivity interval)’을 정의하고, 이를 통해 MNAR 가정에 대한 견고성을 정량화한다.

통계적 추론 부분에서는 켤레 오즈가 제공하는 폐쇄형 사후 분포를 이용해 베이지안 MCMC 샘플링을 수행하고, 표준 오류와 신뢰 구간을 직접 계산한다. 또한, 트리 그래프가 비정규 데이터(예: 이항, 포아송)에도 확장 가능하도록 일반화된 켤레 오즈 함수를 제시한다.

시뮬레이션에서는 변수 수 d=5~8, 결측 비율 20%~50%의 다양한 설정을 시험했으며, 제안 방법이 기존 MissForest, MICE 등 MAR 기반 방법보다 평균 제곱 오차와 편향 면에서 우수함을 보였다. 실제 알츠하이머 데이터(인지 검사, 바이오마커, 임상 변수)에 적용했을 때, 트리 그래프 기반 모델이 예측 정확도와 변수 간 상관 구조 복원에서 기존 방법을 능가하였다.

전반적으로 이 논문은 트리 그래프라는 구조적 제약과 켤레 오즈라는 파라메트릭 보존 메커니즘을 결합해, MNAR 상황에서도 식별 가능하고 계산 효율적인 다변량 결측 데이터 모델을 제공한다는 점에서 이론적·실용적 기여가 크다.