라가리아스 부등식과 초과다수의 새로운 연결 고리

초록

라가리아스 부등식이 리만 가설과 동치임을 이용해, 연속 확장된 조화수 H(x)를 정의하고 Bₙ = (Hₙ + e^{Hₙ}·log Hₙ)/n 이 n≥1에 대해 단조 증가함을 증명한다. 이를 통해 라가리아스 부등식의 최소 반례가 반드시 초과다수(superabundant)임을 보이며, 초과다수만 검증하면 충분함을 제시한다.

상세 분석

본 논문은 라가리아스 부등식 σ(n) ≤ Hₙ + e^{Hₙ}·log Hₙ 를 리만 가설과 동치인 형태로 재해석하고, 이를 분석하기 위해 조화수의 연속 확장 H(x)=ψ(x+1)+γ (ψ는 digamma 함수, γ는 오일러-마스케로니 상수)를 도입한다. 정의된 함수 L(x)=H(x)+e^{H(x)}·log H(x) 를 n에 대해 Bₙ = L(n)/n 로 쓰고, L′(x)=N(x)/x² 형태로 전개한다. 여기서 N(x) 는 복잡한 다항식·지수·로그 항들의 조합이며, N(x)≥0 를 보이면 L′(x)>0 가 된다.

논문은 먼저 H(x)와 그 도함수 H′(x)에 대한 기본 부등식 H(x)≥log(x+1), H′(x)≥1/(x+1), 그리고 H(x)≤1+log x 를 증명한다. 이 부등식들을 이용해 N(x)의 하한 G(x)=x/(x+1)−(1+log x)+x/(1+log x)−log(1+log x) 를 도출하고, t=log x 로 치환해 G(x)>0 를 보인다. 특히 e^{t} ≥ 2t²+3t+1 (t≥4) 를 이용해 x=e^{t} 가 충분히 크면 G(x) 가 양수가 됨을 확인한다. 결과적으로 x≥e⁴ (≈54.6) 에서 L′(x)>0 가 성립하고, 정수 n≥55 에 대해 B_{n+1}>B_n 이 된다. 작은 n (1≤n≤54) 에 대해서는 직접 계산으로 차이가 양수임을 확인하여 Bₙ 수열이 전 범위에서 엄격히 증가함을 증명한다.

다음 단계에서는 라가리아스 부등식의 최소 반례가 초과다수임을 보인다. 반례 m이 존재하고 초과다수가 아니라면, m보다 작은 가장 큰 초과다수 n을 잡는다. 초과다수 정의에 의해 σ(k)/k ≤ σ(n)/n (k<n) 이고, 가정에 의해 σ(j)/j ≥ σ(m)/m 인 j<m 이 존재한다. 이를 정리하면 σ(n)/n ≥ σ(m)/m 가 된다. 그러나 B_m > B_n (단조성) 이므로 σ(m)/m > B_m > B_n 가 되어 n 역시 반례가 된다. 이는 최소성에 모순이므로 최소 반례는 반드시 초과다수여야 함을 결론짓는다.

핵심적인 통찰은 두 가지이다. 첫째, 조화수의 연속 확장을 통해 미분 가능성을 확보하고, 이를 통해 복잡한 지수·로그 형태의 부등식을 미분으로 단순화함으로써 단조성을 증명한 점이다. 둘째, 초과다수의 정의가 라가리아스 부등식의 “가장 큰” σ(n)/n 비율을 제공한다는 점을 이용해, 최소 반례가 초과다수라는 강력한 제한을 얻었다는 점이다. 이 결과는 라가리아스 부등식(따라서 리만 가설)의 검증 범위를 초과다수라는 희소한 수열로 크게 축소시켜, 계산적 검증이나 이론적 접근에 새로운 방향을 제시한다.