우선수수료와 확률적 지연을 고려한 CEX와 DEX 거래 최적화

초록

본 논문은 거래자가 CEX에서 연속적으로, DEX에서는 우선수수료를 조정해 실행 지연의 평균을 제어하면서 다중 미결 주문을 동시에 관리하는 혼합 제어 모델을 제시한다. 동적 계획 원리와 준변분 방정식(HJBQVI)의 점성 해 존재·유일성을 증명하고, 수치 실험을 통해 최적 우선수수료 선택이 비전략적 선택에 비해 현저히 높은 수익을 제공함을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 충동 제어(impulse control) 문헌을 크게 두 축으로 확장한다. 첫 번째는 충동(주문) 실행 지연을 확률적으로 모델링하면서도, 거래자가 그 평균값을 우선수수료라는 연속적인 제어 변수로 직접 선택할 수 있게 한 점이다. 이는 블록체인 기반 DEX에서 채굴자에게 지불하는 가스비가 블록 포함 순서를 앞당겨 지연을 감소시키는 메커니즘을 수학적으로 정형화한 것으로, 지연‑비용‑불확실성 사이의 삼중 트레이드오프를 명시한다. 두 번째는 다중 미결 주문을 허용함으로써, 동시에 여러 주문이 서로 다른 지연 분포를 갖고 비동기적으로 실행되는 현실적인 상황을 포착한다. 이를 위해 각 주문에 대해 (제출 시점, 우선수수료 인덱스, 주문량)이라는 3‑튜플을 정의하고, 실행 시점은 해당 우선수수료에 대응하는 지수분포의 평균을 갖는 랜덤 변수로 모델링한다.

수학적으로는 연속 제어(ν_t)와 충동 제어(τ_n, I_n, ξ_n)를 결합한 혼합 제어 문제를 설정하고, 상태 과정 X_t는 확률 미분 방정식(SDE)과 충동에 의한 점프를 동시에 포함한다. 동적 계획 원리(DPP)를 증명한 뒤, 최적값 함수 v(t,x,i,v) 를 HJBQVI 형태로 유도한다. 여기서 i와 v는 현재 미결 주문의 우선수수료 인덱스와 주문량 벡터를 나타내며, 연산자는 다중 주문의 남은 수와 실행 확률을 반영한다. 논문은 비선형 성장 조건과 강비연속성 가정 하에 이 QVI가 점성 해(viscosity solution)임을 보이며, 비교 원리를 통해 해의 유일성을 확보한다.

금융 응용 부분에서는 CEX에서 연속적인 알파벳형 거래(시장 메이킹 혹은 신호 기반 스케일링)를, DEX에서는 AMM에 대한 스와프 주문을 모델링한다. 우선수수료 선택은 비용 함수 c(t,x,ξ,i) 에 포함되며, 이는 수수료 자체 비용과 지연에 따른 위험을 동시에 반영한다. 최적 정책은 시간·재고·가격 차이 등에 따라 우선수수료 구간을 구분하는 형태로 도출된다. 수치 실험에서는 파라미터(우선수수료 수준 N, 평균 지연 ℓ_i, 주문량 제한 \bar V 등)를 변동시키며, 최적 정책이 어떻게 변하는지 시각화한다. 특히, 우선수수료를 전략적으로 조정했을 때 수익률이 비전략적(고정 수수료) 대비 10~30% 정도 개선되는 것으로 보고한다. 또한, 우선수수료 수준을 과도하게 늘려도 성능 향상이 포화되는 현상을 확인해, 실무에서는 제한된 수의 수수료 옵션만 고려해도 충분함을 제시한다.

이 논문은 (1) 확률적 지연을 제어 변수화한 새로운 충동 제어 프레임워크, (2) 다중 비동기 주문을 포괄하는 수학적 모델, (3) 점성 해 이론을 통한 정밀한 해석, (4) 실제 CEX‑DEX 거래 전략에 대한 실증적 인사이트를 동시에 제공한다는 점에서 학술·산업 양측에 큰 의미를 가진다.