격자 위 작은 도형을 피하는 최대 점집합 연구

초록

본 논문은 n×n 정수 격자에서 특정 3점·4점 기하구성을 포함하지 않는 점집합의 최대 크기를 조사한다. 기존 연구를 정리하고, 사각형·연(다이아몬드)와 연(연) 형태를 피하는 집합에 대해 확률법과 Sidon 집합, Behrend 구성을 이용한 새로운 하한을 제시한다. 또한 비퇴화 평행사변형을 피하는 경우 정확한 상한 2n‑1을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 3점 구성을 대상으로 한 고전적인 “no‑3‑in‑line” 문제와 등변삼각형·직각삼각형 금지 결과를 정리한다. 특히 f₃‑coll(n)에 대한 Hall·Jackson·Sudbery·Wild의 1.5 n ≤ f₃‑coll(n) ≤ 2 n와, 등변삼각형을 피하는 집합의 현재 최선 하한·상한을 언급한다. 4점 구성을 다루면서, (1) 콜리니어 4‑tuple, (2) 평행사변형, (3) 원 위 네 점, (4) 마름모(다이아몬드), (5) 연(키트) 등 다섯 종류를 체계적으로 분석한다. 평행사변형을 금지하는 경우는 2‑차원 Sidon 집합과 동등함을 이용해 f_para(n)=n+O(n^{2/3})를 인용하고, 비퇴화 평행사변형만을 금지하면 정확히 2n‑1개의 점을 선택할 수 있음을 제시한다. 마름모를 피하는 하한은 Sidon 집합 S⊂