다시 굴리는 주사위 게임 분석

초록

주사위 n개와 면 s(≥n)를 가지고 매 턴 남은 주사위 수 k에 대해 k가 적힌 면이 나오면 그 주사위를 제거한다. 게임이 끝날 때까지 필요한 턴 수 Yⁿˢ의 기대값과 분산을 기하분포 최대값 모델과 마코프 체인 모델 두 관점에서 구하고, 명확한 폐쇄식과 상·하한을 제시한다.

상세 분석

본 논문은 “주사위 제거 게임”이라 명명된 확률 과정에 대해 두 가지 수학적 모델을 제시한다. 첫 번째는 각 주사위를 독립적으로 바라보는 관점으로, 각 주사위가 성공(즉, 현재 남은 주사위 수 k와 같은 면이 나올 확률 p=1/s)할 때까지 반복해서 굴리는 과정을 기하분포 Geom(p)로 모델링한다. n개의 주사위가 모두 사라지는 순간은 n개의 독립적인 기하분포 변수 Z₁,…,Zₙ의 최대값 Yⁿˢ = max_i Z_i 로 표현된다. 이때 누적분포함수는 F_Y(y) = (1−(1−p)ʸ)ⁿ이며, 차분을 통해 확률질량함수는 ∑_{k=1}^n (−1)^{k+1} C(n,k) q^{ky}(1−q^k) 형태가 된다(여기서 q=1−p). 이를 이용해 기대값은 E