효율적인 k 균일 초그래프의 k 파트ite 부분 찾기

초록

이 논문은 k‑균일 초그래프가 충분히 조밀할 때, 정해진 상수 c(d,k)에 따라 크기 t ≥ c(d,k)(log n)^{1/(k‑1)}인 완전 k‑파트ite 부분그래프 K(t,…,t)를 다항시간 내에 결정적으로 찾는 알고리즘을 제시한다. 기존 존재론적 결과와 일치하는 차수의 t를 보장하며, k=2인 경우의 Mubayi‑Turán 알고리즘을 일반 k에 확장한다.

상세 분석

본 연구는 Erdős가 제시한 “조밀한 k‑균일 초그래프는 (log n)^{1/(k‑1)} 규모의 완전 k‑파트ite 부분을 포함한다”는 비구성적 존재 증명을, 실제로 다항시간에 찾을 수 있는 절차로 전환한다는 점에서 의미가 크다. 핵심 아이디어는 현재의 k‑균일 초그래프 H에서 가장 높은 차수를 가진 w개의 정점을 선택하고, 그 중 t개의 정점 집합 T를 시험하면서 T와 함께 모든 (k‑1)‑원소 부분집합이 초변을 이루는지를 확인한다. 이 과정에서 얻어지는 “링크 그래프” S는 (k‑1)‑균일 초그래프 H′가 되며, 재귀적으로 동일 절차를 적용한다. 재귀 깊이는 k‑1 단계까지 내려가므로 최종적으로 k개의 파트 V₁,…,V_k가 형성되고, 각 파트는 최소 t개의 정점을 포함한다.

알고리즘의 정확성은 Kővári‑Sós‑Turán 정리의 정량적 형태를 이용해 보장한다. 구체적으로, 이 정리를 적용해 B라는 이분 그래프(정점 집합은 W와 V^{k‑1})의 최소 간선 수가 충분히 크면, 완전 이분 서브그래프 B