완전 이분 그래프 Kₙ,ₙ의 단색 서브그래프 최소화 문제

초록

본 논문은 r색으로 색칠된 완전 이분 그래프 Kₙ,ₙ에서 어느 색이든 최대 몇 개의 정점을 “터치”(인접)할 수 있는지를 최소화하는 함수 g(n,r)를 연구한다. 선형계획법을 이용해 g(n,r)≈g⁎(r)·n 형태의 근사식을 얻고, g⁎(r)에 대한 하한 2√r와 완전제곱수 r=t²에 대해 정확히 g⁎(t²)=2t임을 증명한다. 또한 r≤8, r=t²−1, 그리고 일반 r에 대해 상한을 제시하고, 제시된 구성과 일치하는 하한을 추측한다.

상세 분석

논문은 먼저 색칠된 Kₙ,ₙ의 “터치” 개념을 정의한다. 색 i가 정점 v를 터치한다는 것은 v와 연결된 적어도 하나의 간선이 색 i인 경우이다. g(n,r)은 모든 r‑색 색칠에 대해 가장 많이 터치되는 색의 정점 수의 최소값을 의미한다. 기존 연구는 Kₙ에서 연결된 단색 성분의 크기를 다루었지만, 여기서는 연결성을 요구하지 않는다.

핵심 아이디어는 색칠을 n×n 매트릭스로 보는 “색칠 사각형”이다. 각 열(=Aₙ의 정점)과 행(=Bₙ의 정점)에 대해 어떤 색이 나타나는지를 집합 R⊆