강브루아 순서에서 무작위 순열의 비교 가능성

본 논문은 강Bruhat 순서(Strong Bruhat order)라는 고전적인 부분 순서 구조에 대한 확률론적 특성을 심도 있게 탐구한다. 강Bruhat 순서는 대칭군 Sₙ의 원소들을 인접 전위(adjacent transposition)를 이용해 인버전 수(inversion number)를 한 단계씩 증가시키는 방식으로 정렬한다는 정의에 기반한다. 두 순열 σ,τ∈Sₙ가 비교 가능하다는 것은 σ≺τ 혹은 τ≺σ가 성립한다는 의미이며, 이는 σ를 τ로 변환하거나 그 반대로 변환할 수 있는 전위 연쇄가 존재함을 뜻한다. **1. 연구 배경 및 기존 결과** 2006년 Hammett와 Pittel은 이 문제에 최초로 접근하여, 두 독립적인 균등 무작위 순열이 비교 가능할 확률 Pₙ에 대해 다음과 같은 경계를 제시하였다. - 하한: Pₙ ≥ exp(−c·n) (지수 감소) - 상한: Pₙ ≤ n^{-c'} (다항식 감소) 그들은 이 격차가 실제 문제의 복잡성을 반영한다고 추정했으며, “비교 가능성은 다항식 수준으로 감소할 것”이라는 가설을 제시했다. 이후 Boretsky·외(2023)는 하한을 exp(−n^{1/2+o(1)}) 로 개선했지만, 상한과의 차이는 여전히 크게 남아 있었다. **2. 주요 결과** 본 논문은 Pₙ의 정확한 감소 속도를 exp(−Θ(log² n)) 로 규정한다. 즉, \