워터슈타인과 그로모프워터슈타인 최적 전송 계획의 희소성 및 구조적 특성

이 논문은 워터슈타인 거리와 그로모프‑워터슈타인 거리라는 두 종류의 최적 수송 문제를 체계적으로 비교하고, 각각의 최적 전송 계획이 갖는 구조적 특성을 심도 있게 탐구한다. 첫 번째 섹션에서는 이산 선형 OT를 정의하고, 비용 행렬 C와 마진 벡터 a, b에 대해 가능한 커플링 집합 Π(a,b)를 소개한다. 선형 OT는 ⟨C, P⟩를 최소화하는 문제이며, 목표 함수가 P에 대해 선형이기 때문에 최적 해의 구조가 비교적 명확하다. 여기서 두 가지 핵심 성질을 증명한다. 첫째, ‘순환 단조성’(cyclical monotonicity)이다. 이는 최적 커플링의 지원(supp(P))에 포함된 모든 쌍 (iₖ, jₖ) 에 대해, 어떤 순열 σ를 적용해 매칭을 교환했을 때 비용이 증가한다는 불등식 C_{i₁j₁}+…+C_{i_Nj_N} ≤ C_{i₁j_{σ(1)}}+…+C_{i_Nj_{σ(N)}}가 성립함을 의미한다. 이 성질은 Monge‑Kantorovich 이론의 기본 정리와 동일하며, 최적 커플링을 검증하는 데 유용한 도구가 된다. 둘째, ‘희소성’(sparsity)이다. 최적 커플링 중 최소 지원을 갖는 해는 그래프 이론적으로 사이클이 없는 이분 그래프를 만든다. 사이클이 없으면 해당 커플링은 Π(a,b)의 극점이며, 그 지원 크기는 n+m‑1 이하가 된다. 이는 네트워크 심플렉스와 같은 전통적인 OT 알고리즘이 왜 희소한 해를 탐색하는지에 대한 이론적 근거를 제공한다. 또한, 마진이 균등하고 n=m인 경우 Birkhoff‑von Neumann 정리를 이용해 극점이 바로 퍼뮤테이션 행렬임을 보이며, ‘Monge = Kantorovich’라는 고전 결과를 재확인한다. 두 번째 주요 파트에서는 비선형 GW 문제를 도입한다. GW는 두 공간 각각의 내부 거리 행렬 C와 C'를 이용해 텐서 L_{ijkl}=ℓ(C_{ik}, C'_{jl}) 로 정의하고, 비용 ⟨L⊗P, P⟩를 최소화한다. 여기서 ℓ은 일반적인 손실 함수(예: 제곱 차)이며, L은 4차원 텐서이다. GW는 비용이 P에 대해 이차 형태이기 때문에 선형 OT와 달리 최적 해의 구조를 직접적으로 추론하기 어렵다. 핵심 기여는 ‘조건부 음의 준정정(CND)’ 텐서 개념이다. 정의에 따르면, 모든 차이 행렬 Q∈Π−Π에 대해 ⟨L⊗Q, Q⟩≤0이면 L은 CND이다. 이는 곧 GW 손실 함수 f(P)=⟨L⊗P, P⟩가 Π(a,b) 위에서 concave 함수를 형성한다는 것과 동치이다(보조정리 3.2). concave 함수의 최소는 볼록 집합의 극점에서 이루어지므로, CND가 성립하면 GW 최적 해는 Π(a,b)의 극점이 된다. 극점은 앞서 논의한 바와 같이 사이클이 없는 지원 그래프를 가지므로, GW 최적 계획 역시 희소하고, 특히 균등 마진 상황에서는 퍼뮤테이션 행렬 형태가 가능함을 보인다. 논문은 이러한 이론적 결과를 기존 연구와 연결한다. Séjourné et al. (2021)에서 처음 제시된 CND 개념이 이후 Beier et al. (2023), Mémoli & Needham (2024) 등에서 다양한 응용(그래프 매칭, 도메인 적응, 구조적 데이터 분석)으로 확장되었으며, 실제 데이터에서는 거리 행렬이 유클리드 거리의 제곱 형태일 때 CND가 만족되는 경우가 많다. 마지막으로, CND가 일반적으로 성립하지 않는 경우 GW 최적 해는 사이클을 포함할 수 있고, 지원 크기가 n+m‑1을 초과할 수 있다. 따라서 실무에서 GW를 사용할 때는 텐서 설계 단계에서 CND 여부를 검증하거나, 엔트로피 정규화, 스파스 제약 등 추가적인 방법을 도입해 희소성을 강제하는 전략이 필요함을 제안한다. 전체적으로 이 논문은 선형 OT와 GW 사이의 구조적 차이를 명확히 구분하고, CND 텐서라는 충분조건을 통해 GW에서도 선형 OT와 유사한 희소성·극점·순환 단조성 특성을 확보할 수 있음을 보여준다. 이는 GW 기반 알고리즘의 이론적 기반을 강화하고, 실제 응용에서 효율적인 구현을 위한 설계 지침을 제공한다.