사각 격자 다각형을 위한 이산 하인 셰퍼드 문제와 플러커 부등식의 한계

초록

본 논문은 네 개의 평면 격자 다각형이 만들 수 있는 혼합 면적들의 정수 다항식(제곱 자유 부분) 집합을 연구한다. 연속적인 경우를 지배하는 플러커형 이차 부등식은 격자 경우에도 적용되지만, 그 내부에는 실제 격자 다각형으로 실현 가능한 경우와 불가능한 경우가 동시에 존재한다. 이는 격자 폭과 혼합 면적 사이에 존재하는 추가적인 산술 제약, 즉 “이산 다이어그램”이 원인임을 보인다. 논문은 경계점은 모두 실현 가능함을 증명하고, 내부에서는 실현 가능한 다항식과 불가능한 다항식의 두 가족을 명시한다.

상세 분석

논문은 먼저 볼륨 다항식 ( \operatorname{vol}d(x_1K_1+\dots+x_nK_n) ) 의 제곱 자유 부분을 정의하고, 이를 격자 다각형 (P_i\in\mathcal P(\mathbb Z^2)) 에 적용한다. (n=4,;d=2) 인 경우, 6개의 혼합 면적 (v{ij}=v(P_i,P_j)) 은 플러커형 부등식
\