의사컨벡스 영역에서의 최대 부피 엘립소이드와 그 특성

초록

본 논문은 복소유클리드 공간의 유계 의사컨벡스 영역 Ω⊂ℂⁿ 안에 포함되는 허미션 엘립소이드(단위공을 복소선형 변환으로 옮긴 형태)의 최대 부피 존재와 유일성을 연구한다. 존재와 필요충분조건을 Borel 측도 μ를 이용한 적분식(1.2)으로 제시하고, 경계에 홀로모픽 원판이 없을 때는 유일함을 보인다. 또한 엘립소이드 공간의 기하학적 구조를 이용해 삽입 가능한 엘립소이드 집합이 볼록함을 증명한다. 마지막으로 평행이동을 허용한 경우와 강한 의사컨벡스 영역에서의 비유일성 예시를 제시한다.

상세 분석

이 논문은 복소해석과 기하학을 결합한 새로운 최적화 문제를 제시한다. 기존의 실수공간에서의 John 정리(볼록 영역에 내접하는 최대 부피 타원)의 복소버전은 이미 Hermitian ellipsoid(허미션 타원)이라는 형태로 연구되었지만, 복소공간에서는 볼록성 대신 의사컨벡스(pseudoconvex)라는 더 일반적인 개념이 핵심이 된다. 저자는 먼저 Ω⊂ℂⁿ(0∈Ω)라는 유계 의사컨벡스 영역을 가정하고, 원점 중심의 Hermitian ellipsoid E_h={z∈ℂⁿ:h(z,z)<1}을 고려한다.

존재와 필요조건(Theorem 1.1)
ℰ₀(=Hermitian ellipsoids) 안에서 Ω에 포함되는 ellipsoid이 최소 하나 존재함을 John 정리와 동일한 컴팩트성 인자를 이용해 보인다. 최대 부피 ellipsoid E_h는 경계 ∂Ω∩∂E_h에 정의된 Borel 측도 μ(총질량 n)와 다음 적분식이 만족될 때 필요조건이 된다.
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