세 연속 k제곱 사이에 존재하는 k 전수 정수의 개수와 그 밀도

초록

저자들은 k≥2에 대해 (n^k,(n+1)^k)와 ((n+1)^k,(n+2)^k) 구간에 각각 ℓ, m개의 k‑full 정수가 들어가는 n의 집합이 양의 점근밀도를 갖는다는 것을 보였다. 이를 통해 k‑full 정수열에 연속된 k제곱이 무한히 존재함을 일반화하였다.

상세 분석

본 논문은 k‑full 정수(모든 소인수 p에 대해 p^k ∣ n)를 k제곱 구간 사이에 어떻게 분포하는지를 정밀히 조사한다. 핵심은 k‑full 정수를 고유한 형태 n = a^k λ^k (a∈ℕ, λ∈Λ_k) 로 표현하고, Λ_k를 실수 집합으로 정의한 뒤 λ들의 역수 1/λ가 서로 유리 독립임을 보이는 Lemma 2를 이용한다. 이렇게 하면 {n λ} (소수점 이하 부분) 의 분포가 균등함을 보장하는 다변량 등분포 정리(Lemma 1)를 적용할 수 있다. Lemma 3은 구간 (n^k,(n+j)^k) 안에 λ‑형 k‑full 정수가 존재하는지 여부를 {n/λ}의 위치와 정확히 연결한다. 이 세 가지 기본 결과를 조합해, 임의의 유한 집합 I,J⊂Λ_k에 대해
 B(k){I,J} = { n | | (n^k,(n+1)^k)∩S_I | = |I|, |((n+1)^k,(n+2)^k)∩S_J| = |J|, 그 외는 없음 }
의 점근밀도가
 d(B(k){I,J}) = ∏{λ∈I∪J} 1/λ · ∏{λ∉I∪J}(1−2/λ)
이라는 명시적 식으로 얻어진다(정리 1). 여기서 S_I는 λ∈I인 k‑full 정수들의 집합이다. 이 식은 I와 J의 구체적 선택이 아니라 I∪J에만 의존한다는 대칭성을 드러낸다.

정리 2에서는 ℓ, m≥0에 대해
 A(k){ℓ,m} = { n | |(n^k,(n+1)^k)∩S_k| = ℓ, |((n+1)^k,(n+2)^k)∩S_k| = m }
의 밀도를
 d(A(k){ℓ,m}) = Σ_{I,J⊂Λ_k,|I|=ℓ,|J|=m, I∩J=∅} d(B(k){I,J})
로 전개한다. 이는 곧
 ∑{ℓ,m≥0} d(A(k){ℓ,m}) z^ℓ w^m = ∏{λ∈Λ_k}(1+z+w−2/λ)
이라는 생성함수 형태를 제공한다. 이 결과는 기존의 Shiu(ℓ‑full 정수)와 Xiong‑Zaharescu(일반 k‑full 정수)의 식을 동시에 재현한다.

또한, Corollary 1은 I=J=∅인 경우, 즉 (n^k,(n+2)^k) 안에 k‑full 정수가 전혀 없고 가운데 (n+1)^k만 존재하는 n이 양의 비율로 무한히 존재함을 보인다. k=2일 때는 구체적인 수열 {3,6,12,23,…}이 제시된다. 이로부터 “연속된 세 개의 완전 k제곱이 k‑full 정수열에 무한히 나타난다”는 강력한 결론을 얻으며, 이는 Shiu가 제기한 질문에 대한 최적의 일반화이다.

기술적으로는 기존 연구에서 사용된 Koksma–Hlawka나 Erdős–Turán 불균형 추정 대신, 단순히 등분포 정리만으로 충분함을 보여 논문의 증명 구조를 크게 단순화한다. 또한, Λ_k에 대한 수렴성(∑{λ∈Λ_k}1/λ<∞)을 이용해 무한 곱이 잘 정의됨을 확인한다. 마지막으로, k=2,3에 대한 수치 계산을 통해 d(A(k){ℓ,m})의 실제 값과 최대값을 표로 제시함으로써 이론적 결과의 구체적 의미를 강조한다.