재시작 블록 GMRES의 수렴 행동과 정체 현상 거울링

초록

본 논문은 재시작 블록 GMRES에서 원하는 잔차 수렴 패턴을 사전에 설계할 수 있음을 보이며, 각 반복 단계에서의 고유값과 Ritz값을 수렴 패턴과 독립적으로 지정할 수 있는 구성 방법을 제시한다. 기존 비블록 GMRES 결과를 블록 상황으로 일반화하고, 정체 현상이 발생할 경우 다음 사이클 초기에 동일한 정체가 “거울링”되는 현상을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 비블록 GMRES에 대한 기존 이론을 정리하고, 재시작이 포함된 경우 admissible convergence sequence(감소하는 잔차 norm의 임의 시퀀스)가 어떤 제약을 받는지를 분석한다. Meurant와 Tebbens(2019)의 결과를 확장해, 임의의 수열 f₀≥f₁≥…≥f_{n-1}>0에 대해 적절한 행렬 A와 우변 B를 구성하면 GMRES가 정확히 f_j를 잔차 norm으로 생성한다는 것을 보인다. 여기서 핵심은 Krylov basis와 Arnoldi 과정에서 얻어지는 Hessenberg 행렬 H를 임의의 상삼각 행렬 U와 대각 행렬 D로 분해하고, D·U의 첫 번째 열을 통해 잔차 norm 변화를 직접 제어한다는 점이다.

재시작 블록 GMRES에서는 각 사이클마다 길이 m의 Krylov 서브스페이스를 새로 생성한다. 저자는 “재시작된 Krylov 행렬” K̂ =