평균 프라이머 벡터 이론의 향상과 BangBang 제어 및 일식 처리

초록

본 논문은 저추력, 다회전 궤도 최적화를 위해 평균 동역학에 기반한 프라이머 벡터 이론을 확장한다. 레이비츠 적분법칙을 이용한 다구간 평균화, 일식 제약의 최적 처리, 그리고 Bang‑Bang 제어의 스위칭 함수 근을 최대 6개로 제한하는 새로운 이론적 경계를 제시한다. 또한 변분 방정식을 도출해 발사일·비행시간에 대한 민감도 분석을 가능하게 하며, GTO‑GEO 전이 사례(486 회전)로 검증한다.

상세 분석

이 연구는 저추력 궤도 설계에서 기존 프라이머 벡터 접근법이 갖는 계산적 복잡성과 제약 처리의 비최적성을 해결하고자 한다. 먼저, 평균 동역학을 적용해 궤도 요소와 질량을 포함한 8차 상태벡터를 정의하고, 시간 스케일을 0‒1 구간 τ로 정규화함으로써 장시간 통합 시 수치적 안정성을 확보한다. 레이비츠 적분법칙을 다구간 평균화에 적용함으로써 일식 구간에서 발생하는 비용함수와 비용상태(costate)의 불연속 점프를 정확히 반영한다. 기존 연구에서 일식 제약을 부드러운 함수로 근사하거나 별도 전이 레이어를 도입했지만, 이 논문은 점프를 직접 포함하는 형태로 모델링해 singularity 문제를 근본적으로 해소한다. 특히, 일식 구간 길이가 0에 접근할 때 발생하는 ‘제한된 길이’ 특이점을 새로운 정의의 ke(E) 함수(0 또는 1)와 레이비츠 적분을 결합해 제거한다.

Bang‑Bang 제어에 대해서는 스위칭 함수 S′를 평균화된 비용상태식에 삽입하고, 다항식 형태의 근 찾기 문제로 변환한다. 이때 한 회전당 최대 6개의 근이 존재함을 증명함으로써, 실제 최적화에서 필요한 추력 구간 수에 대한 이론적 상한을 제공한다. 이는 기존에 경험적으로 설정하던 구간 수와 달리, 설계자가 사전에 계산 가능한 제한값을 제공받아 알고리즘 복잡도를 크게 낮춘다.

변분 방정식은 평균 해밀토니안을 기반으로 전파 행렬(Φ)을 도출하고, 발사일·비행시간에 대한 민감도(∂x/∂t0, ∂x/∂α)를 명시적으로 계산한다. 이는 다중 목표 최적화나 트레이딩 스터디에서 파라미터 스캔을 효율적으로 수행할 수 있게 한다.

마지막으로 GTO→GEO 전이 사례를 통해, 평균 모델이 실제 비평균 궤적과 0.1 % 이하의 오차를 보이며, 486 회전(≈ 10 년) 동안 연료 절감 효과를 확인한다. 전체적으로 이 논문은 평균 프라이머 벡터 이론을 실용적인 최적화 도구로 전환시키는 데 필요한 수학적·알고리즘적 혁신을 제시한다.