무작위 비선형성의 균질화와 변동 분석

초록

본 논문은 포아송 과정으로 분포된 “뿌려진” 비선형성을 가진 1차원 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLSµ)의 대규모 거동을 연구한다. ε→0 한계에서 해가 표준 입방체 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)으로 균질화됨을 증명하고, 차례로 해의 미세한 변동이 공간 백색 잡음에 의해 구동되는 선형화 방정식으로 수렴한다는 중앙극한정리를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 무작위 측정 µ를 포아송 과정으로 모델링하고, µ의 라플라스 함수형을 통해 레비 측도 Λ가 존재함을 가정한다. 이때 Φ(z)=∫₀^∞(1−sz−e^{−sz})dΛ(s)는 실수부가 −a보다 큰 영역에서 해석적이며 Φ′′(0)=−1로 정규화한다. εₙ→0인 스케일링을 도입해 µₙ을 정의하고, NLSₙ: i∂ₜψₙ=−∂ₓ²ψₙ+2|ψₙ|²ψₙ dµₙ 를 고려한다. 기존 연구