1252 차수 스큐 하다마드 행렬의 명시적 구성

초록

본 논문은 유한체 GF(5⁴) 위에서 차수 16의 사이클로토믹 클래스들을 결합한 두 블록을 이용해, 2(5⁴+1)=1252 차수의 스큐-하다마드 행렬을 명시적으로 구성한다. 블록이 만족하는 경계형 차이 패밀리 조건을 증명하고, 행렬의 GF(2), GF(3), GF(5) 위 전치 순위와 자동동형군의 부분군 크기(24 375)를 계산한다. 또한 재현 가능한 아티팩트 번들을 제공하여 검증 과정을 투명하게 공개한다.

상세 분석

이 연구는 스큐-하다마드 행렬(정의: H·Hᵀ=nIₙ, H+Hᵀ=2Iₙ) 존재 문제의 구체적 사례를 제시한다. 저자는 먼저 GF(5⁴) = 𝔽₆₂₅의 곱군 𝔽₆₂₅^×에서 원시 원소 g를 선택하고, 지수 16에 대한 사이클로토믹 클래스 C₀,…,C₁₅을 정의한다. 각 클래스는 크기 39인 16개의 동치류로 분할된다. 두 인덱스 집합 I₀={4,…,11}와 I₁={0,…,7}을 이용해 D₀=∪{i∈I₀}C_i, D₁=∪{i∈I₁}C_i를 구성한다.

첫 번째 조건인 스큐 대칭성은 -1이 C₈에 속함을 이용해 증명된다. -1은 g^{(5⁴−1)/2}=g^{312}이며, 312≡8(mod 16)이다. 따라서 곱셈 -1은 C_i를 C_{i+8}으로 옮기고, I₀는 i∈I₀ ⇔ i+8∉I₀인 전치 집합이므로 D₀와 -D₀는 서로 겹치지 않으며 D₀∪(-D₀)=𝔽₆₂₅^×가 된다.

두 번째 조건인 자동상관 합 P_{D₀}(w)+P_{D₁}(w)=−2 (w≠0)는 전산 검증으로 확인된다. 저자는 파이썬 스크립트 reproduce/verify_difference_family_1252.py를 작성해 모든 비영 원소 w∈𝔽₆₂₅에 대해 위 식이 성립함을 로그 파일에 기록하였다.

이 두 조건을 만족하면 Goethals–Seidel 유형의 경계형 군 전개(bordered construction) 레마에 따라 차수 2(v+1)=2·626=1252의 스큐-하다마드 행렬 H가 얻어진다. 행렬 자체는 artifacts_core/matrix_1252.txt에 텍스트 형식으로 제공되며, H·Hᵀ=1252·I와 H+Hᵀ=2·I를 검증하는 두 개의 독립 로그(Gate0 Python, SageMath)도 포함된다.

알고리즘적·구조적 특성을 더 파악하기 위해 저자는 p-랭크와 자동동형군 부분군을 계산했다. H를 첫 행을 전부 +1로 정규화한 후 코어 S를 추출하고, 토너먼트 인접 행렬 M=J−S²를 정의하였다. GF(2) 위에서 M의 랭크는 1251(전부 풀랭크)이며, GF(3)·GF(5) 위에서 H 자체도 풀랭크(1252)를 보인다. 이는 행렬이 다양한 모듈러 환경에서 선형 독립성을 유지함을 의미한다.

자동동형군에 관해서는 D₀, D₁이 C₀-코셋들의 합이므로 곱셈 승수 u∈C₀에 대해 x↦u·x가 행렬을 보존한다. 또한 가법 변환 x↦x+a (a∈𝔽₆₂₅)도 군 전개 구조에 의해 자동동형으로 작용한다. 따라서 Aff(C₀)(1,5⁴)≅{x↦u·x+a | u∈C₀, a∈𝔽₆₂₅}가 자동동형군의 부분군이며, 그 크기는 |C₀|·|𝔽₆₂₅|=39·625=24 375이다. 이 부분군의 작용 역시 스크립트와 로그를 통해 검증하였다.

실용적 응용으로 저자는 EdgeSketch-1252라는 임베딩 압축 파이프라인을 구현했다. 변환 y=1/√1252·H·x를 이용해 1252차원 실수 임베딩을 300차원 상위 성분으로 축소하고 8비트 양자화한다. 실험 결과, 동일 대역폭 조건에서 1024·1024 및 2048·2048 하다마드 기반 변환보다 22 % 정도 더 미세한 차원을 제공하면서 F1 점수 0.62를 달성했다. 이는 스큐-하다마드 행렬이 실제 AI 시스템에서 대역폭-성능 트레이드오프를 세밀하게 조정할 수 있음을 보여준다.

전반적으로 이 논문은 특정 차수(1252)의 스큐-하다마드 행렬이 존재한다는 것을 명시적 구성과 완전한 검증 로그를 통해 입증함으로써, 기존 데이터베이스에 누락된 사례를 메우고, 사이클로토믹 클래스 기반 차이 패밀리 설계가 실용적 응용까지 연결될 수 있음을 증명한다.